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¡Nos mudamos!

Como te puedes dar cuenta, nos estamos mudando a un nuevo sitio, pero esto lleva tiempo y trabajo. Durante este mes estaremos actualizando la información de nuestro repositorio para que se encuentre nuevamente disponible. Esperamos que esto sea lo más pronto posible y mientras completamos esto puedes seguir disfrutando de los contenidos ya disponibles. Sin embargo, debido a los trabajos es posible que experimentes cierta intermitencia o cortes inesperados.

¿Cómo realizar operaciones por filas en Wolfram Mathematica?

Te presentamos cómo realizar operaciones elementales por filas con la ayuda de Wolfram Mathematica.

Sean \(m,n\in\mathbb{N}^*\) , \(A\in\mathbb{R}^{m \times n}\) y \(i,j\in\{1,\ldots, m\}\). Una operación elemental por filas sobre \(A\) es una de las siguientes:

Intercambio de filas: intercambiar la fila \(i\) por la fila \(j\), denotado por $$F_i \leftrightarrow F_j.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ { i , j } ]] = A[[ { j , i } ]]

Multiplicar una fila por un escalar: dado \(a\neq 0\), multiplicar la fila \(i\) por \(a\), denotado por $$a F_i \rightarrow F_i.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ i ]] = a*A[[ i ]]

Sumar un múltiplo de una fila con otra: dado \(a\in \mathbb{R}\), multiplicar la fila \(i\) por \(a\) y sumarlo a la fila \(j\), denotado por $$a F_i + F_j\rightarrow F_j.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ j ]] = a*A[[ i ]] + A[[ j ]]

Aquí puedes ver un video tutorial de cómo realizar estas operaciones:

Finalmente, te adjuntamos los archivos utilizados en el tutorial.

Error de WolframAlpha al calcular un límite

Ejercicio. Demuestre que el siguiente límite no existe \[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3}. \]

Utilizando WolframAlpha, nos indica que este límite es 0:

Demostración. De manera simple se puede ver que los límites iterados son igual a \(0\), por lo tanto, no son de ayuda para demostrar que este límite no existe.

El siguiente paso es tomar límites a través de ciertas trayectorias que estén dentro del dominio de la función unido el punto \((0,0)\). Notemos que el dominio de la función es un subconjunto de \[\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y \neq -x^3\},\] de esta forma, una trayectoria interesante puede ser una “cercana” a la trayectoria de ecuación \(y=-x^3\) (no puede ser la trayectoria de ecuación \(y=-x^3\) pues esta no está dentro del dominio de la función unión \((0,0)\)).

Una idea para tomar una trayectoria “cercana” sería tomar una trayectoria de ecuación \(y=-x^3 + f(x)\), donde \(f\) es una función continua (para que sea una trayectoria) tal que \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (para que la trayectoria esté dentro del dominio de la función) y que \(f(0)=0\) (para que la trayectoria pase por el punto \((0,0)\)).

Dado que nuestra función es racional, puede ser una buena idea tomar, para \(f\), una función polinomial. Una función de este tipo puede ser la definida por \(f(x)=x^n\) para \(x\in\mathbb{R}\), con \(n\geq0\), es decir, consideremos la trayectoria de ecuación \(y=-x^3+x^n\), con esto \[\dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3} =\dfrac{8 x^2 (x^n-x^3)^3 }{x^9+(x^n-x^3)^3}.\] Para obtener un límite diferente de \(0\), busquemos un valor de \(n\) tal que, tanto el numerador como el denominador (los cuales son polinomios) tengan un término independiente. Notemos que \[\begin{aligned} \dfrac{8 x^2 (x^n-x^3)^3 }{x^9+(x^n-x^3)^3} &=\dfrac{8 x^{11} (x^{n-3}-1)^3 }{x^9[ 1 + (x^{n-3}-1)^3]}\\ &=\dfrac{8 x^{2} (x^{n-3}-1)^3 }{x^{3n-9}-3 x^{2n-6} +3 x^{n-3}}\\ &=\dfrac{8 (x^{n-3}-1)^3 }{x^{n-5}[x^{2n-6}-3 x^{n-3} +3 ]};\end{aligned}\] de donde, podemos tomar \(n = 5\). Así, tomemos la trayectoria de ecuación \(y = -x^3 + x^5\), es decir, tomemos \[\funcion{\alpha}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}^2}{t}{(t,-t^3+t^5).}\] Así, el límite, a través de \(\alpha\), en \((0,0)\) es \[\lim_{t\to 0} \dfrac{8 t^2 (t^5-t^3)^3}{t^9 + (t^5-t^3)^3} =\lim_{t\to 0} \dfrac{8 (t^2-1)^3}{t^4 – 3 t^2 + 3} =-\dfrac{8}{3}.\] Como existe un camino en el que el límite es diferente de \(0\), este límite no existe.