¿Sabías que toda función contractiva es continua? Aquí puedes encontrar la demostración de este hecho. Sea \((E,d)\) un espacio métrico. Pruebe que si \(T\,\colon\,E\mapsto E\) es una contracción definida en \((E,d)\) entonces \(T\) es continua.
Sigue leyendoAño: 2019
Métricas generadas
¿Sabías que a partir de una métrica completa podemos generar otra que también haga completo al espacios y que sea una métrica acotada? Aquí puedes encontrar la demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(\widehat{d} = \frac{d}{1+d}\). Pruebe que $$(E,d) […]
Sigue leyendoIsomorfismos entre espacios funcionales
¿Problemas con entender isomorfismos entre espacios funcionales? Aquí pueden encontrar un ejercicio que te puede guiar. Pruebe que \(\mathscr{C}[0,1] = \left(\mathcal{C} [0,1],d_{\infty} \right)\) y \(\mathscr{C}[a,b] = \left( \mathcal{C}[a,b],d_{\infty}\right)\) son isomorfos, donde $$\mathcal{C}[a,b]=\{f\,\colon\,[a,b]\mapsto \mathbb{R}: f\text{ es continua}\}$$ y $$d_{\infty} (f,g)= \displaystyle\max_{a\leq […]
Sigue leyendoEspacios homeomorfos y completitud
¿Sabías que entre espacios homeomorfos no se preserva la completitud? Aquí puedes ver un ejemplo de esto. Si \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son dos espacios métricos isomorfos, pruebe que \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son homeomorfos. Dé un ejemplo de dos espacios homeomorfos, […]
Sigue leyendoIsomorfismos y completitud
¿Sabías que si dos espacios son isomorfos, o ambos son completos o ambos son incompletos? Aquí puedes encontrar la demostración. Pruebe que si \((E_1,d_1)\) y \((E_2,d_2)\) son isomorfos, entonces $$ (E_1,d_1) \text{ es completo} \quad\text{si y solo si}\quad(E_2,d_2) \text{ es completo}. $$
Sigue leyendoConstrucción de isomorfismos
¿Cómo se pueden construir isomorfismos? En este ejercicio puedes ver algunos ejemplos. Sean \(a,b \in \mathbb{R}\) con \(a<b\), tome \(E_1 = [0,1], \; E_2=[1,3]\) y \(E = [a,b]\). Considere el espacio ((E,|\cdot |)\), determine métricas \(d_1\) y \(d_2\) sobre \(E_1\) […]
Sigue leyendoCompletación de los números racionales
¿Sabías que podemos ver al conjunto de los números reales como la completación del conjunto de los números racionales? Aquí puedes encontrar la demostración. Sea \((\mathbb{Q},|\cdot |)\) un espacio métrico con la distancia usual dado por el valor absoluto, pruebe […]
Sigue leyendoEspacios completos
¡Seguimos con demostraciones de espacios completos! Esperamos que estos ejercicios te sean de ayuda. Para \(x , y \in \mathbb{R}\), sea \(d(x,y) = |\arctan (x) – \arctan (y)|\). Pruebe que \((\mathbb{R},d)\) es un espacio métrico incompleto.
Sigue leyendoCompletitud y métrica discreta
¿Sabias que la matrica discreta siempre hace completo al espacio? Aquí puedes ver su demostración. Sea \((E,d)\) un espacio métrico con \(E \neq \emptyset \) y \(d\) es la métrica discreta. Pruebe que \((E,d)\) es un espacio completo.
Sigue leyendoCompletitud de espacios de sucesiones
¿Problemas en analizar la completitud de espacios de sucesiones? Aquí puedes encontrar un ejercicio que te puede guiar. Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es completo. Pruebe que \((\ell^\infty,d_\infty )\) es completo, donde $$\ell^\infty = \{ (x_n)_{x\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N} : (x_n) \text{ […]
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