¿Sabías que toda función contractiva es continua? Aquí puedes encontrar la demostración de este hecho. Sea \((E,d)\) un espacio métrico. Pruebe que si \(T\,\colon\,E\mapsto E\) es una contracción definida en \((E,d)\) entonces \(T\) es continua.
Sigue leyendoMes: diciembre 2019
Métricas generadas
¿Sabías que a partir de una métrica completa podemos generar otra que también haga completo al espacios y que sea una métrica acotada? Aquí puedes encontrar la demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(\widehat{d} = \frac{d}{1+d}\). Pruebe que $$(E,d) […]
Sigue leyendoIsomorfismos entre espacios funcionales
¿Problemas con entender isomorfismos entre espacios funcionales? Aquí pueden encontrar un ejercicio que te puede guiar. Pruebe que \(\mathscr{C}[0,1] = \left(\mathcal{C} [0,1],d_{\infty} \right)\) y \(\mathscr{C}[a,b] = \left( \mathcal{C}[a,b],d_{\infty}\right)\) son isomorfos, donde $$\mathcal{C}[a,b]=\{f\,\colon\,[a,b]\mapsto \mathbb{R}: f\text{ es continua}\}$$ y $$d_{\infty} (f,g)= \displaystyle\max_{a\leq […]
Sigue leyendoEspacios homeomorfos y completitud
¿Sabías que entre espacios homeomorfos no se preserva la completitud? Aquí puedes ver un ejemplo de esto. Si \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son dos espacios métricos isomorfos, pruebe que \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son homeomorfos. Dé un ejemplo de dos espacios homeomorfos, […]
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