Archives 2020

¿Cómo realizar operaciones por filas en Wolfram Mathematica?

Te presentamos cómo realizar operaciones elementales por filas con la ayuda de Wolfram Mathematica.

Sean \(m,n\in\mathbb{N}^*\) , \(A\in\mathbb{R}^{m \times n}\) y \(i,j\in\{1,\ldots, m\}\). Una operación elemental por filas sobre \(A\) es una de las siguientes:

Intercambio de filas: intercambiar la fila \(i\) por la fila \(j\), denotado por $$F_i \leftrightarrow F_j.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ { i , j } ]] = A[[ { j , i } ]]

Multiplicar una fila por un escalar: dado \(a\neq 0\), multiplicar la fila \(i\) por \(a\), denotado por $$a F_i \rightarrow F_i.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ i ]] = a*A[[ i ]]

Sumar un múltiplo de una fila con otra: dado \(a\in \mathbb{R}\), multiplicar la fila \(i\) por \(a\) y sumarlo a la fila \(j\), denotado por $$a F_i + F_j\rightarrow F_j.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ j ]] = a*A[[ i ]] + A[[ j ]]

Aquí puedes ver un video tutorial de cómo realizar estas operaciones:

Finalmente, te adjuntamos los archivos utilizados en el tutorial.

Error de WolframAlpha al calcular un límite

Ejercicio. Demuestre que el siguiente límite no existe \[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3}. \]

Utilizando WolframAlpha, nos indica que este límite es 0:

Demostración. De manera simple se puede ver que los límites iterados son igual a \(0\), por lo tanto, no son de ayuda para demostrar que este límite no existe.

El siguiente paso es tomar límites a través de ciertas trayectorias que estén dentro del dominio de la función unido el punto \((0,0)\). Notemos que el dominio de la función es un subconjunto de \[\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y \neq -x^3\},\] de esta forma, una trayectoria interesante puede ser una “cercana” a la trayectoria de ecuación \(y=-x^3\) (no puede ser la trayectoria de ecuación \(y=-x^3\) pues esta no está dentro del dominio de la función unión \((0,0)\)).

Una idea para tomar una trayectoria “cercana” sería tomar una trayectoria de ecuación \(y=-x^3 + f(x)\), donde \(f\) es una función continua (para que sea una trayectoria) tal que \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (para que la trayectoria esté dentro del dominio de la función) y que \(f(0)=0\) (para que la trayectoria pase por el punto \((0,0)\)).

Dado que nuestra función es racional, puede ser una buena idea tomar, para \(f\), una función polinomial. Una función de este tipo puede ser la definida por \(f(x)=x^n\) para \(x\in\mathbb{R}\), con \(n\geq0\), es decir, consideremos la trayectoria de ecuación \(y=-x^3+x^n\), con esto \[\dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3} =\dfrac{8 x^2 (x^n-x^3)^3 }{x^9+(x^n-x^3)^3}.\] Para obtener un límite diferente de \(0\), busquemos un valor de \(n\) tal que, tanto el numerador como el denominador (los cuales son polinomios) tengan un término independiente. Notemos que \[\begin{aligned} \dfrac{8 x^2 (x^n-x^3)^3 }{x^9+(x^n-x^3)^3} &=\dfrac{8 x^{11} (x^{n-3}-1)^3 }{x^9[ 1 + (x^{n-3}-1)^3]}\\ &=\dfrac{8 x^{2} (x^{n-3}-1)^3 }{x^{3n-9}-3 x^{2n-6} +3 x^{n-3}}\\ &=\dfrac{8 (x^{n-3}-1)^3 }{x^{n-5}[x^{2n-6}-3 x^{n-3} +3 ]};\end{aligned}\] de donde, podemos tomar \(n = 5\). Así, tomemos la trayectoria de ecuación \(y = -x^3 + x^5\), es decir, tomemos \[\funcion{\alpha}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}^2}{t}{(t,-t^3+t^5).}\] Así, el límite, a través de \(\alpha\), en \((0,0)\) es \[\lim_{t\to 0} \dfrac{8 t^2 (t^5-t^3)^3}{t^9 + (t^5-t^3)^3} =\lim_{t\to 0} \dfrac{8 (t^2-1)^3}{t^4 – 3 t^2 + 3} =-\dfrac{8}{3}.\] Como existe un camino en el que el límite es diferente de \(0\), este límite no existe.

Demostración en una linea de la infinitud de los números primos

En el artículo: A One-Line Proof of the Infinitude of Primes se da la siguiente demostración de la infinitud del conjunto de los números primos:

Si el conjunto de números primos \(\mathbb{P}\) es finito, entonces $$0<\prod_{p\in\mathbb P} \mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{p}\right)=\prod_{p\in\mathbb P} \mathrm{sen} \left(\vcenter{\hbox{$\displaystyle\frac{\displaystyle\pi\Big(1+2\prod_{q\in\mathbb P} q\Big) }{p}$}}\right)=0$$

Aquí, te dejamos los detalles de la demostración:

Asignar tareas y exámenes personalizadas en moodle

TestAssigner es un programa diseñado para ayudar a asignar tareas o exámenes personalizados en la herramienta Moodle. Escrito en C# y con licencia GNU GPLv3, TestAssigner permite tomar, al menos, dos exámenes y personalizar los exámenes para cada estudiante dependiendo de una entrada de datos por CSV generado por la plataforma virtual. El resultado es una hoja de excel con el resumen de la asignación y un archivo comprimido listo para subir al Moodle, de forma que cada estudiante no sabe qué tipo de examen le toca a cada alumno.

¿Cómo usar TestAssigner?

  1. Descargar la hoja de calificaciones de la plataforma virtual
  2. Asignar un nombre al examen
  3. Seleccionar el archivo CVS (hoja de calificaciones)
  4. Elegir un tipo de examen y la respectiva carpeta donde se encontrarán
  5. Escoger un tipo de asignación para el examen
    1. Si el tipo de asignación fue personalizada, proporcionar también un archivo Excel con una asignación especial para cada estudiante.
  6. Generar la asignación
  7. En Moodle, se sube el archivo comprimido con los exámenes

Tipos de archivos soportados

  • PDF
  • MS Word (.docx, .doc)
  • MS Excel (.xlsx, .xls)
  • MS PowerPoint (.pptx, .ppt)
  • Imágenes (.jpg, .jpeg, .png)

Tipos de asignación soportados

  • Aleatorio: Asigna aleatoriamente un examen a los estudiantes, balanceando la carga por examen
  • Alternado: Siguiendo el orden alfabético de la lista de estudiantes, se distribuirán alternadamente
  • Por grupos: Se asignará cierto número de estudiantes formando grupos dependiendo del número de exámenes, siguiendo el orden alfabético.
  • Personalizado: Permite generar una asignación, tomando un archivo Excel.

Créditos

Desarrollador

Víctor Silverio
Estudiante de Ingeniería en Sistemas y Computación en la
Pontificia Universidad Católica del Ecuador
[email protected] [email protected]

Promotor

Mat. Andrés Merino
Proyecto Alephsub0,
Docente de Matemática en la
Pontificia Universidad Católica del Ecuador
[email protected]

Descarga

Hemos actualizado el programa y ahora acepta otro tipo de archivos a más de pdf.

¿La derivada es un operador acotado?

¿Sabías que la derivada no es un operador acotado? Aquí puedes encontrar la demostración.

Pruebe que el operador $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} T \colon & \mathcal{C}^1[a,b] & \longrightarrow &\mathcal{C}[a,b]\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x’ \end{array} $$ es lineal y no acotado (considerando la norma \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) en el espacio de salida y de llegada).

Cálculo de normas de funcionales 4

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Para cada \(n\in\mathbb{N}\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_n \colon & \mathcal{C}[0,1] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \int_{-1}^1 t^n x(t) \, dt. \end{array}$$ Halle \(\lVert f_n\rVert_\infty\) para todo \(n\in\mathbb{N}\).

Cálculo de normas de funcionales 3

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Sea \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x(a)-x\left(\tfrac{a+b}{2} \right)+x(b). \end{array}$$ Pruebe que \(f\in \left(\mathcal{C}[a,b]\right)^* \) y halle \(\lVert f\rVert\).

Cálculo de normas de funcionales 2

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Sea \(\rho\in\mathcal{C}[a,b]\) tal que \(\rho(t)>0\), para todo \(t\in [a,b]\). Consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \int_{a}^b \rho(t)x(t) \, dt. \end{array}$$ Pruebe que \(f\) es lineal, acotado en \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\) y halle \(\lVert f\rVert\).

Cálculo de normas de funcionales

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Consideremos el espacio \((\mathbb{K}^n,\lVert\cdot\rVert_2)\), con \(n\geq 2\), y \(a\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\), para cada \(x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{K}^n\) consideremos el funcional $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_a \colon & \mathbb{K} & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k x_k \end{array}$$ Pruebe que \(f\) es lineal, acotado y que \(\lVert f\rVert=\lVert a\rVert _2 \).