Archives enero 2020

Lema de combinaciones lineales

El Lema de combinaciones lineales nos indica la existencia una constante c con ciertas propiedades, pero no nos indica cómo calcularla. En este ejercicio podrás encontrar su cálculo de manera explícita.

En \(\mathbb{R}^2\) considere \(v_1=(1,1)\) y \(v_2=(1,-1)\). Halle el mayor \(c>0\) tal que $$\left\lVert \sum_{k=1}^2\alpha_k v_k \right\rVert \geq c \lVert\alpha \rVert_1 $$ para todo \(\alpha\in\mathbb{R}^2\).

Contracciones y puntos fijos

¿Sabias que si la composición iterada de una función es una contracción, entonces la función original tiene un punto fijo? Aquí puedes ver su demostración.

Sean \((E,d)\) un espacio métrico completo y \(f\,\colon\, E \mapsto E\) una función. Demostrar que si la función $$f^n=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}_{\text{n veces}}$$ es una contracción, entonces \(f\) tiene un único punto fijo.

Continuidad de la norma

¿Sabías que en un espacio normado la norma es una función continua? Aquí puedes encontrar la demostración de esto.

Considere \((E,\lVert \cdot \rVert)\) un espacio normado y \((\mathbb{R},d)\) el espacio métrico de los reales con la norma usual.Pruebe que $$ \begin{array}{[email protected]{\,}ccl} \lVert \cdot \rVert\colon & E & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \lVert x \rVert \end{array} $$ es una función continua.

Funciones continuas en espacios normados

¿Sabías que en un espacio normado la suma es una función continua? Aquí puedes encontrar la demostración de esto.

Sean \((E,\lVert \cdot \rVert)\) un espacio vectorial normado, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\), \((y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) dos sucesiones de \(E\) y \(x,y \in E\). Si $$ x_n \xrightarrow{}x \qquad\text{y}\qquad y_n \xrightarrow{} y $$ entonces $$x_n + y_n \xrightarrow{} x + y.$$

Caracterización de convergencia en espacios producto

¿Cómo caracterizar la convergencia en el producto de espacios normados? En este ejercicio puedes encontrar una respuesta.

Sean \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) y \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sucesiones de los espacios normados \(E\) y \(F\), respectivamente. Pruebe que $$ \lVert (u_n , v_n) – (a,b)\rVert_p \xrightarrow{} 0 $$ si y solo si $$ \lVert u_n – a\rVert_E \xrightarrow{} 0 \; \text{ y } \; \lVert v_n-b\rVert_F \xrightarrow{} 0. $$

Solución de EDPs mediante separación de variables

¿Problemas con el método de separación de variables para la resolución de EPD’s? Te compartimos la resolución de este ejercicio que te puede guiar.

Hallar la solución de la ecuación de la onda unidimensional con las condiciones mixtas siguientes: $$(P)\,\, \begin{cases} u_{tt}(x,t)=c^2u_{xx}(x,t), & (x,t)\in[0,L]\times\left[0,+\infty\right[, \\ u(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0, &t\geq 0, \\ u(x,0)=f(x), \quad u_t(x,0)=0, &0\leq x\leq L. \end{cases} $$

Funciones de Lipschiz

¿Sabías que si una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado es continuamente derivable, entonces es de Lipschiz? Aquí puedes encontrar la demostración.

(Condición de Lipschitz) Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\). Una aplicación \(T\,\colon\,[a,b]\mapsto [a,b]\) satisface la condición de Lipschitz en \([a,b]\), si existe una constante \(k>0\) tal que para todo \(x,y\in [a,b]\) se tiene que: $$|T(x)-T(y)|\leq k|x-y|.$$

  • ¿Es \(T\) una contracción?
  • Si \(T\) es continuamente derivable, pruebe que \(T\) satisface la condición de Lipschitz. ¿Se tiene la recíproca?

Teorema del punto fijo de Banach

Te dejamos la solución de este ejercicio para que refuerces la técnica de demostración del Teorema de punto fijo de Banach.

Consideremos \((\mathbb{R},d)\) con \(d\) la distancia usual y \(g\,\colon\,\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) una función. En \(\mathbb{R}\), una condición suficiente para que una sucesión \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) dada por la iteración \(x_n=g(x_{n-1})\) para todo \(n\geq1\) sea convergente es que \(g\) sea continuamente derivable y que exista \(\alpha<1\) tal que para todo \(x\in\mathbb{R}\):