Archives febrero 2020

¿La derivada es un operador acotado?

¿Sabías que la derivada no es un operador acotado? Aquí puedes encontrar la demostración.

Pruebe que el operador $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} T \colon & \mathcal{C}^1[a,b] & \longrightarrow &\mathcal{C}[a,b]\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x’ \end{array} $$ es lineal y no acotado (considerando la norma \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) en el espacio de salida y de llegada).

Cálculo de normas de funcionales 4

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Para cada \(n\in\mathbb{N}\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_n \colon & \mathcal{C}[0,1] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \int_{-1}^1 t^n x(t) \, dt. \end{array}$$ Halle \(\lVert f_n\rVert_\infty\) para todo \(n\in\mathbb{N}\).

Cálculo de normas de funcionales 3

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Sea \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x(a)-x\left(\tfrac{a+b}{2} \right)+x(b). \end{array}$$ Pruebe que \(f\in \left(\mathcal{C}[a,b]\right)^* \) y halle \(\lVert f\rVert\).

Cálculo de normas de funcionales 2

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Sea \(\rho\in\mathcal{C}[a,b]\) tal que \(\rho(t)>0\), para todo \(t\in [a,b]\). Consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \int_{a}^b \rho(t)x(t) \, dt. \end{array}$$ Pruebe que \(f\) es lineal, acotado en \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\) y halle \(\lVert f\rVert\).

Cálculo de normas de funcionales

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Consideremos el espacio \((\mathbb{K}^n,\lVert\cdot\rVert_2)\), con \(n\geq 2\), y \(a\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\), para cada \(x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{K}^n\) consideremos el funcional $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_a \colon & \mathbb{K} & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k x_k \end{array}$$ Pruebe que \(f\) es lineal, acotado y que \(\lVert f\rVert=\lVert a\rVert _2 \).

Operadores acotados y no acotados 2

¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar.

Sean \(E = { x \in \mathcal{C}[a,b]: x’ \in \mathcal{C}[a,b] }\) con la norma \(\lVert x\rVert = \lVert x \rVert_\infty + \lVert x’\rVert_\infty \) par \(x\in E\) y \(c \in ]a,b[\). Pruebe si los siguientes operadores son lineales y acotados: $$\begin{array}{ll} \begin{array}{[email protected]{\,}ccl}T_1 \colon & E & \longrightarrow & E\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x'(c)\cdot x \end{array} & \begin{array}{[email protected]{\,}ccl} T_2 \colon & E & \longrightarrow & E \\ & x & \longmapsto &\displaystyle x'(c)+x \end{array} \end{array}$$ En caso de que el operador sea acotado, halle su norma.

Operadores acotados y no acotados

¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar.

Sea $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} I_{pq} \colon & (\mathcal{C}[a,b],\lVert \cdot \rVert_p) & \longrightarrow &(\mathcal{C}[a,b],\lVert \cdot \rVert_q) \\ & x & \longmapsto & x \end{array}$$ con \(p,q \in \left[1,+\infty \right[\). Pruebe que:

  • \(I_{pq}\) es acotada si \(q\leq p\);
  • \(I_{pq}\) no es acotada si \(p < q\).