¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar. Sean \(E = { x \in \mathcal{C}[a,b]: x’ \in \mathcal{C}[a,b] }\) con la norma \(\lVert x\rVert = \lVert x \rVert_\infty + \lVert […]
Sigue leyendoAño: 2020
Operadores acotados y no acotados
¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar. Sea $$\begin{array}{r@{\,}ccl} I_{pq} \colon & (\mathcal{C}[a,b],\lVert \cdot \rVert_p) & \longrightarrow &(\mathcal{C}[a,b],\lVert \cdot \rVert_q) \\ & x & \longmapsto & x \end{array}$$ con […]
Sigue leyendoNormas equivalentes
¿Problemas con demostrar que dos normas son equivalentes? En este archivo podrás encontrar varios ejemplos de cómo hacerlo. Pruebe que para todo \(x\in \mathbb{R}^n\) se tiene que $$\frac{1}{\sqrt{n}}\lVert x\rVert_1 \leq \lVert x\rVert_2 \leq \lVert x\rVert_1.$$
Sigue leyendoLema de combinaciones lineales
El Lema de combinaciones lineales nos indica la existencia una constante c con ciertas propiedades, pero no nos indica cómo calcularla. En este ejercicio podrás encontrar su cálculo de manera explícita. En \(\mathbb{R}^2\) considere \(v_1=(1,1)\) y \(v_2=(1,-1)\). Halle el mayor […]
Sigue leyendoContracciones y puntos fijos
¿Sabias que si la composición iterada de una función es una contracción, entonces la función original tiene un punto fijo? Aquí puedes ver su demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico completo y \(f\,\colon\, E \mapsto E\) una función. Demostrar que […]
Sigue leyendoContinuidad de la norma
¿Sabías que en un espacio normado la norma es una función continua? Aquí puedes encontrar la demostración de esto. Considere \((E,\lVert \cdot \rVert)\) un espacio normado y \((\mathbb{R},d)\) el espacio métrico de los reales con la norma usual.Pruebe que $$ […]
Sigue leyendoFunciones continuas en espacios normados
¿Sabías que en un espacio normado la suma es una función continua? Aquí puedes encontrar la demostración de esto. Sean \((E,\lVert \cdot \rVert)\) un espacio vectorial normado, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\), \((y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) dos sucesiones de \(E\) y \(x,y \in E\). Si $$ x_n […]
Sigue leyendoCaracterización de convergencia en espacios producto
¿Cómo caracterizar la convergencia en el producto de espacios normados? En este ejercicio puedes encontrar una respuesta. Sean \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) y \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sucesiones de los espacios normados \(E\) y \(F\), respectivamente. Pruebe que $$ \lVert (u_n , v_n) – (a,b)\rVert_p \xrightarrow{} […]
Sigue leyendoSolución de EDPs mediante separación de variables
¿Problemas con el método de separación de variables para la resolución de EPD’s? Te compartimos la resolución de este ejercicio que te puede guiar. Hallar la solución de la ecuación de la onda unidimensional con las condiciones mixtas siguientes: $$(P)\,\, […]
Sigue leyendoFunciones de Lipschiz
¿Sabías que si una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado es continuamente derivable, entonces es de Lipschiz? Aquí puedes encontrar la demostración. (Condición de Lipschitz) Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\). Una aplicación \(T\,\colon\,[a,b]\mapsto [a,b]\) satisface la condición de […]
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