Teorema 1. Sean \(\newcommand{\eval}[2]{\Big | _{#1}^{#2}} \newcommand{\Eval}[2]{\Bigg | _{#1}^{#2}}a<b\) y \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión acotada de funciones reales. Entonces \[\lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\, dx = \int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n(x)\, dx.\] Ejercicio 1. Verifique que \[\lim_{n\to +\infty}\int_0^1 n^2 x^n(1-x)\, dx \neq \int_0^1 […]
Sigue leyendoAutor: Jonathan Ortiz
Cálculo de una integral real utilizando una compleja II
Ejercicio. El objetivo de este ejercicio es demostrar que \[ \int_0^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}\, dx=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}. \] Se considera la siguiente gráfica con \(R > 1\), \(z_1=\frac{1+i}{2}\) y \(z_2=\frac{-1+i}{2}\); y tomando \(C = C_1\cup C_2\). Siga los siguientes pasos: Factorice el polinomio \(z^4+1\). […]
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Cálculo de una integral real utilizando una compleja
Ejercicio. El objetivo de este ejercicio es demostrar que \[ \int_0^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\, dx=\pi. \] Se considera la siguiente gráfica: con \(R > 1\) y tomando \(C = C_1\cup C_2\). Siga los siguientes pasos: Calcule \[ \int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz. \] Evalúe el […]
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Cálculo de una integral compleja
Ejercicio 1. Sea \(\alpha\in\mathbb{C}\) tal que \(\mathop{\mathrm{Re}}(\alpha)>1\). Para demostrar que \[\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-t}-e^{-\alpha t}}{t}\, dt =\mathop{\mathrm{Log}}(\alpha).\] vamos a calcular \[\int_C \dfrac{e^{-z}}{z}\, dz,\] donde \(C\) es la curva dada por la unión de \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) y \(C_4\) dadas por la siguiente gráfica […]
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¿Cuántos términos tiene el desarrollo de la potencia n de k términos?
¿Cuántos términos tiene el desarrollo de la potencia \(n\) de \(k\) términos? Es decir, al desarrollar \[(a_1+a_2+\cdots+a_k)^n,\] ¿cuántos términos aparecen? Para responder esta pregunta es preciso expresar de forma exacta la pregunta. Ejercicio 1. Dados \(n,k\in\mathbb{Z}^+\) y \(a_0,a_1,\ldots,a_m\) variables distintas, […]
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Series
Estas son 3 demostraciones de como usar las series de forma ingeniosa…
Sigue leyendoDoble inducción
Este es un ejemplo detallado de como encontrar el determinante de una matriz que tiene una estructura «especial».
Sigue leyendoCorrección de la prueba de análisis I
Prueba del primer bimestre de Análisis Matemático I, tomada por Dr. Sáenz el semestre 2013-2
Sigue leyendoCaracterización de sucesiones no convergentes
Esta es una caracterización de sucesiones no convergentes a través de subsucesiones.
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