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¿Cómo se relacionan los límites de las subsucesiones con el límite de la sucesión? Aquí puedes encontrar la solución a esto. Sean \((E,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x\in E\) talque \(x = \displaystyle \lim_{n \to […]

¿Sabías que el espacio de funciones acotadas junto a la norma del supremo no es separable? Aquí puedes encontrar su demostración. Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\) y consideremos \( (\mathcal{B}[a,b], d_\infty) \), el espacio de las funciones reales acotadas definidas […]

¿Problemas con demostrar que un conjunto es abierto en un espacio funcional? Aquí puedes encontrar un ejemplo que te ayudará. Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\) y consideremos \((\mathcal{C}[a,b], d_\infty) \), el espacio de las funciones reales continuas definidas sobre \([a,b]\) […]

¿Es lo mismo la bola cerrada que la clausura de la bola abierta? Aquí puedes encontrar la respuesta a esta pregunta. Dé un ejemplo de un espacio métrico \((E,d)\) donde, para \(a\in E\) y \(r>0\), se tenga que \(\overline{B(a,r)}\neq\overline{B}(a,r)\).

¿Qué relación tiene el interior de una intersección con la intersección de los interiores? Aquí puedes encontrar varios ejercicios respecto a esto. Sea \(\{ A_{i}\} _{i\in I} \) una familia de subconjuntos de un espacio topológico \(E\). Demostrar que \(\displaystyle\bigcup_{i\in […]

¿Qué relación tiene la clausura de una intersección con la intersección de las clausuras? Aquí puedes encontrar varios ejercicios respecto a esto. Sean \((E,\tau)\) un espacio topológico y \(\{A_i\}_{i\in I}\) una familia de subconjuntos de \(E\). Demostrar que \(\displaystyle\bigcup_{i\in I} […]

¿Qué relación guardan los conjuntos abiertos de bajo métricas equivalentes? Aquí puedes encontrar un ejercicio que responde esta pregunta. Sean \(E \neq \emptyset \) dotado de dos métricas equivalentes \(d_1\) y \(d_2\) y \(\Omega \subseteq E\). Demuestre que \(\Omega \) […]

¿Conocías esta caracterización de los conjuntos abiertos en un espacio métrico? Aquí puedes encontrar la demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \( A\subseteq E\) no vacío. Pruebe que \(A\) es un conjunto abierto si y solo si es la […]

¿Problemas en realizar la demostración de que un conjunto es abierto o cerrado? Aquí puedes encontrar unos ejercicios que te ayudarán. En \(\mathbb{R}\) con la métrica usual, pruebe que si \(a<b\): \([a,b]\) no es abierto; \([a,b[\) no es cerrado; \(\{ […]

¿Problemas con entender las definiciones de punto de acumulación y puntos de adherencia? Aquí puedes econtrar una serie de ejercicios que te ayudarán. Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(M’\) es cerrado. Sea \((E,d)\) un espacio […]