Teorema 1. Sea \(E\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\), \(F\) un subespacio vectorial de \(E\) y \(g\colon F \rightarrow \mathbb{K}\) un funcional lineal tal que \[\begin{cases} g(x) \leq p(x) & \quad \forall x\in F \quad \text{ si }\quad \mathbb{K}=\mathbb{R}\\ \text{Re}(g(x)) […]
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Todo espacio prehilbertiano separable posee una familia ortonormal maximal contable
Ejercicio 1. Todo espacio prehilbertiano separable posee una familia ortonormal maximal contable. Sea \(H\) un espacio prehilbertiano. P.D. \(\exists \left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) familia ortonormal en \(H\) tal que \[\overline{\mathop{\mathrm{span}}\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}} = H.\] Como \(H\) es separable, entonces existe un conjunto numerable denso en […]
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Apuntes de Python
Compartimos los apuntes de clase del curso «Programación con Python» elaborados por el profesor Luisantos Bonilla Mejía de la Escuela de Matemática de la Universidad de El Salvador.
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Tipografías en LaTeX
¿Sabías que es posible usar las mismas fuentes que se usan en Word, PowerPoint o cualquier programa en LaTeX? A continuación te dejo una pequeña de guía para hacerlo utilizando LaTeX en local (instalado en tu computador) o como en […]
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¿Intercambiar la integral y el límite?
Teorema 1. Sean \(\newcommand{\eval}[2]{\Big | _{#1}^{#2}} \newcommand{\Eval}[2]{\Bigg | _{#1}^{#2}}a<b\) y \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión acotada de funciones reales. Entonces \[\lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\, dx = \int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n(x)\, dx.\] Ejercicio 1. Verifique que \[\lim_{n\to +\infty}\int_0^1 n^2 x^n(1-x)\, dx \neq \int_0^1 […]
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Resumen de Mecánica Clásica I
Junto a Aider EPN, presentamos los apuntes de la clase de Mecánica Clásica I, elaborados por Jhon Chiliquinga y Kevin Cárdenas. Estos apuntes se basan en las clases de la materia «Mecánica Clásica I», dictadas en la carrera de Física […]
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Introducción a LaTeX – Guía 01
La filosofía de LaTeX El proceso para la generación profesional de un documento escrito se lo puede dividir en tres etapas: Escritura: es cuando el autor plasma sus ideas concentrándose únicamente es el fondo del documento más no en su […]
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Cálculo de una integral real utilizando una compleja II
Ejercicio. El objetivo de este ejercicio es demostrar que \[ \int_0^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}\, dx=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}. \] Se considera la siguiente gráfica con \(R > 1\), \(z_1=\frac{1+i}{2}\) y \(z_2=\frac{-1+i}{2}\); y tomando \(C = C_1\cup C_2\). Siga los siguientes pasos: Factorice el polinomio \(z^4+1\). […]
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Cálculo de una integral real utilizando una compleja
Ejercicio. El objetivo de este ejercicio es demostrar que \[ \int_0^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\, dx=\pi. \] Se considera la siguiente gráfica: con \(R > 1\) y tomando \(C = C_1\cup C_2\). Siga los siguientes pasos: Calcule \[ \int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz. \] Evalúe el […]
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Cálculo de una integral compleja
Ejercicio 1. Sea \(\alpha\in\mathbb{C}\) tal que \(\mathop{\mathrm{Re}}(\alpha)>1\). Para demostrar que \[\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-t}-e^{-\alpha t}}{t}\, dt =\mathop{\mathrm{Log}}(\alpha).\] vamos a calcular \[\int_C \dfrac{e^{-z}}{z}\, dz,\] donde \(C\) es la curva dada por la unión de \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) y \(C_4\) dadas por la siguiente gráfica […]
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