Ejercicio. El objetivo de este ejercicio es demostrar que \[ \int_0^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\, dx=\pi. \] Se considera la siguiente gráfica: con \(R > 1\) y tomando \(C = C_1\cup C_2\). Siga los siguientes pasos: Calcule \[ \int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz. \] Evalúe el […]
Sigue leyendo
Cálculo de una integral compleja
Ejercicio 1. Sea \(\alpha\in\mathbb{C}\) tal que \(\mathop{\mathrm{Re}}(\alpha)>1\). Para demostrar que \[\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-t}-e^{-\alpha t}}{t}\, dt =\mathop{\mathrm{Log}}(\alpha).\] vamos a calcular \[\int_C \dfrac{e^{-z}}{z}\, dz,\] donde \(C\) es la curva dada por la unión de \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) y \(C_4\) dadas por la siguiente gráfica […]
Sigue leyendo
Demostración de que un operador cerrado sobre un compacto es acotado
Ejercicio 1. Sean \(E\) y \(F\) espacios normados y \(T\colon E \rightarrow F\) un operador lineal cerrado. Si \(F\) es compacto, demuestre que \(T\) es acotado. Demostración. Primero, notemos que demostrar que \(T\) es acotado es equivalente a demostrar que […]
Sigue leyendo
Completación de una base de Hamel
Ejercicio 1. Sea \(E\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\), \(W\) un subespacio vectorial no nulo de \(E\) y \(B_W\) una base de Hamel para \(W\). Muestre que \(B_W\) puede ser completado a una base de Hamel para \(E\). Demostración. Tomemos […]
Sigue leyendo
Demostración de que un conjunto es convexo
Ejercicio 1. Demostrar que el conjunto \[A = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x>0\ \land\ y>\frac{1}{x} \right\}\] es convexo. Primero, consideremos la función \[% { \begin{array}{r@{\,}ccl} f\ \colon & \left]0,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle\frac{1}{x}\ ; \end{array} }\] notemos que, […]
Sigue leyendo
¿Cuántos términos tiene el desarrollo de la potencia n de k términos?
¿Cuántos términos tiene el desarrollo de la potencia \(n\) de \(k\) términos? Es decir, al desarrollar \[(a_1+a_2+\cdots+a_k)^n,\] ¿cuántos términos aparecen? Para responder esta pregunta es preciso expresar de forma exacta la pregunta. Ejercicio 1. Dados \(n,k\in\mathbb{Z}^+\) y \(a_0,a_1,\ldots,a_m\) variables distintas, […]
Sigue leyendo
¡Nos mudamos!
Como te puedes dar cuenta, nos estamos mudando a un nuevo sitio, pero esto lleva tiempo y trabajo. Durante este mes estaremos actualizando la información de nuestro repositorio para que se encuentre nuevamente disponible. Esperamos que esto sea lo más […]
Sigue leyendo
¿Cómo realizar operaciones por filas en Wolfram Mathematica?
Te presentamos cómo realizar operaciones elementales por filas con la ayuda de Wolfram Mathematica. Sean \(m,n\in\mathbb{N}^*\) , \(A\in\mathbb{R}^{m \times n}\) y \(i,j\in\{1,\ldots, m\}\). Una operación elemental por filas sobre \(A\) es una de las siguientes: Intercambio de filas: intercambiar la […]
Sigue leyendo
LaTeX en OneNote
¿Sabías que OneNote reconoce parcialmente código \(\LaTeX{}\) al momento de escribir ecuaciones? Esto incluye símbolos como letras griegas, operadores, entre otros. Te dejamos un enlace al sitio de Microsoft con la documentación sobre el tema:
Sigue leyendo
Error de WolframAlpha al calcular un límite
Ejercicio. Demuestre que el siguiente límite no existe \[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3}. \] Utilizando WolframAlpha, nos indica que este límite es 0: Demostración. De manera simple se puede ver que los límites iterados son igual a \(0\), […]
Sigue leyendo