Alephsub0

¿Cómo caracterizar la convergencia en el producto de espacios normados? En este ejercicio puedes encontrar una respuesta. Sean \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) y \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sucesiones de los espacios normados \(E\) y \(F\), respectivamente. Pruebe que $$ \lVert (u_n , v_n) – (a,b)\rVert_p \xrightarrow{} […]

¿Sabías que si una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado es continuamente derivable, entonces es de Lipschiz? Aquí puedes encontrar la demostración. (Condición de Lipschitz) Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\). Una aplicación \(T\,\colon\,[a,b]\mapsto [a,b]\) satisface la condición de […]

Te dejamos la solución de este ejercicio para que refuerces la técnica de demostración del Teorema de punto fijo de Banach. Consideremos \((\mathbb{R},d)\) con \(d\) la distancia usual y \(g\,\colon\,\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) una función. En \(\mathbb{R}\), una condición suficiente para que una […]

¿Sabías que toda función contractiva es continua? Aquí puedes encontrar la demostración de este hecho. Sea \((E,d)\) un espacio métrico. Pruebe que si \(T\,\colon\,E\mapsto E\) es una contracción definida en \((E,d)\) entonces \(T\) es continua.

¿Sabías que a partir de una métrica completa podemos generar otra que también haga completo al espacios y que sea una métrica acotada? Aquí puedes encontrar la demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(\widehat{d} = \frac{d}{1+d}\). Pruebe que $$(E,d) […]

¿Problemas con entender isomorfismos entre espacios funcionales? Aquí pueden encontrar un ejercicio que te puede guiar. Pruebe que \(\mathscr{C}[0,1] = \left(\mathcal{C} [0,1],d_{\infty} \right)\) y \(\mathscr{C}[a,b] = \left( \mathcal{C}[a,b],d_{\infty}\right)\) son isomorfos, donde $$\mathcal{C}[a,b]=\{f\,\colon\,[a,b]\mapsto \mathbb{R}: f\text{ es continua}\}$$ y $$d_{\infty} (f,g)= \displaystyle\max_{a\leq […]

¿Sabías que entre espacios homeomorfos no se preserva la completitud? Aquí puedes ver un ejemplo de esto. Si \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son dos espacios métricos isomorfos, pruebe que \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son homeomorfos. Dé un ejemplo de dos espacios homeomorfos, […]

¿Sabías que si dos espacios son isomorfos, o ambos son completos o ambos son incompletos? Aquí puedes encontrar la demostración. Pruebe que si \((E_1,d_1)\) y \((E_2,d_2)\) son isomorfos, entonces $$ (E_1,d_1) \text{ es completo} \quad\text{si y solo si}\quad(E_2,d_2) \text{ es completo}. $$

¿Cómo se pueden construir isomorfismos? En este ejercicio puedes ver algunos ejemplos. Sean \(a,b \in \mathbb{R}\) con \(a<b\), tome \(E_1 = [0,1], \; E_2=[1,3]\) y \(E = [a,b]\). Considere el espacio ((E,|\cdot |)\), determine métricas \(d_1\) y \(d_2\) sobre \(E_1\) […]