¿Sabías que si una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado es continuamente derivable, entonces es de Lipschiz? Aquí puedes encontrar la demostración. (Condición de Lipschitz) Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\). Una aplicación \(T\,\colon\,[a,b]\mapsto [a,b]\) satisface la condición de […]
Sigue leyendoTeorema del punto fijo de Banach
Te dejamos la solución de este ejercicio para que refuerces la técnica de demostración del Teorema de punto fijo de Banach. Consideremos \((\mathbb{R},d)\) con \(d\) la distancia usual y \(g\,\colon\,\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) una función. En \(\mathbb{R}\), una condición suficiente para que una […]
Sigue leyendoContinuidad de funciones contractivas
¿Sabías que toda función contractiva es continua? Aquí puedes encontrar la demostración de este hecho. Sea \((E,d)\) un espacio métrico. Pruebe que si \(T\,\colon\,E\mapsto E\) es una contracción definida en \((E,d)\) entonces \(T\) es continua.
Sigue leyendoMétricas generadas
¿Sabías que a partir de una métrica completa podemos generar otra que también haga completo al espacios y que sea una métrica acotada? Aquí puedes encontrar la demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(\widehat{d} = \frac{d}{1+d}\). Pruebe que $$(E,d) […]
Sigue leyendoIsomorfismos entre espacios funcionales
¿Problemas con entender isomorfismos entre espacios funcionales? Aquí pueden encontrar un ejercicio que te puede guiar. Pruebe que \(\mathscr{C}[0,1] = \left(\mathcal{C} [0,1],d_{\infty} \right)\) y \(\mathscr{C}[a,b] = \left( \mathcal{C}[a,b],d_{\infty}\right)\) son isomorfos, donde $$\mathcal{C}[a,b]=\{f\,\colon\,[a,b]\mapsto \mathbb{R}: f\text{ es continua}\}$$ y $$d_{\infty} (f,g)= \displaystyle\max_{a\leq […]
Sigue leyendoEspacios homeomorfos y completitud
¿Sabías que entre espacios homeomorfos no se preserva la completitud? Aquí puedes ver un ejemplo de esto. Si \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son dos espacios métricos isomorfos, pruebe que \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son homeomorfos. Dé un ejemplo de dos espacios homeomorfos, […]
Sigue leyendoIsomorfismos y completitud
¿Sabías que si dos espacios son isomorfos, o ambos son completos o ambos son incompletos? Aquí puedes encontrar la demostración. Pruebe que si \((E_1,d_1)\) y \((E_2,d_2)\) son isomorfos, entonces $$ (E_1,d_1) \text{ es completo} \quad\text{si y solo si}\quad(E_2,d_2) \text{ es completo}. $$
Sigue leyendoConstrucción de isomorfismos
¿Cómo se pueden construir isomorfismos? En este ejercicio puedes ver algunos ejemplos. Sean \(a,b \in \mathbb{R}\) con \(a<b\), tome \(E_1 = [0,1], \; E_2=[1,3]\) y \(E = [a,b]\). Considere el espacio ((E,|\cdot |)\), determine métricas \(d_1\) y \(d_2\) sobre \(E_1\) […]
Sigue leyendoCompletación de los números racionales
¿Sabías que podemos ver al conjunto de los números reales como la completación del conjunto de los números racionales? Aquí puedes encontrar la demostración. Sea \((\mathbb{Q},|\cdot |)\) un espacio métrico con la distancia usual dado por el valor absoluto, pruebe […]
Sigue leyendoEspacios completos
¡Seguimos con demostraciones de espacios completos! Esperamos que estos ejercicios te sean de ayuda. Para \(x , y \in \mathbb{R}\), sea \(d(x,y) = |\arctan (x) – \arctan (y)|\). Pruebe que \((\mathbb{R},d)\) es un espacio métrico incompleto.
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