Alephsub0

¡Seguimos con demostraciones de espacios completos! Esperamos que estos ejercicios te sean de ayuda. Para \(x , y \in \mathbb{R}\), sea \(d(x,y) = |\arctan (x) – \arctan (y)|\). Pruebe que \((\mathbb{R},d)\) es un espacio métrico incompleto.

¿Sabias que la matrica discreta siempre hace completo al espacio? Aquí puedes ver su demostración. Sea \((E,d)\) un espacio métrico con \(E \neq \emptyset \) y \(d\) es la métrica discreta. Pruebe que \((E,d)\) es un espacio completo.

¿Problemas en analizar la completitud de espacios de sucesiones? Aquí puedes encontrar un ejercicio que te puede guiar. Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es completo. Pruebe que \((\ell^\infty,d_\infty )\) es completo, donde $$\ell^\infty = \{ (x_n)_{x\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N} : (x_n) \text{ […]

¿Cómo demostrar que un subespacio es completo utilizando el hecho de que el espacio es completo? Encuentra la respueta en la solución de este ejercicio. En \(\mathbb{R}\), sean \(a<b\). Consideremos el conjunto $$F=\{f\in \mathcal{C}[a,b]: f(a)=f(b)\}.$$ Pruebe que el subespacio \((F,d_\infty)\)), […]

¿Sabias que la convergencia uniforme y la convergencia en la métrica infito coinciden? Aquí puedes encontrar la demsotración de este hecho. Sean \(a,b\in\mathbb{R}, a<b\). Pruebe que para una sucesión \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) en \(\mathcal{C} [a,b]\) se tiene que \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge en \((\mathcal{C}[a,b],d_\infty)\) […]

¿Todo espacio discreto es completo? Mira la solución de este ejercicio para que encuentres la respuesta. En \(\mathbb{N}^*\), consideremos la métrica dada por: $$\begin{array}{r@{\,}ccl} d \colon & \mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (m,n) & \longmapsto & \left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|\end{array}$$

¿Problemas en analizar la completitud de espacios de sucesiones? Aquí puedes encontrar un ejercicio que te puede guiar. En \((\ell^\infty,d_\infty)\), sea $$M={(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\ell^\infty: (\exists n\in\mathbb{N})(\forall k > n)(x_k=0)},$$ pruebe que \((M,d_\infty)\) no es completo.

¿Problemas en demostrar que un espacio es completo? La solución de este ejercicio te puede orientar. Usando el hecho que \((\mathbb{R},|\cdot|) \) es completo, demuestre que \((\mathbb{R}^n,d_\infty)\), con \(n>1\), es completo.

¿Existen funciones biyectivas y continua cuya inversa no sea continua? Aquí puedes encotrar la respuesta. Dar un ejemplo de una función biyectiva que sea continua pero cuya inversa no lo sea.

¿Sabías que las funciones contiuas y sobreyectivas envían conjuntos densos en conjuntos densos? Aquí podrás encontrar la demostración. Sean \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) espacios métricos, y \(f\,\colon\, E \mapsto F\) una función continua y sobreyectiva. Demostrar que si \(A\) es denso […]