¿Conocías esta caracterización de funciones continuas mediante la clausura de conjuntos? Aquí puedes encontrar su demostración. Sean \((E,\tau)\) y \((F,\sigma)\) espacios topológicos, y \(f\,\colon\, E\mapsto F\) una función. Demostrar que \(f\) es continua si y solo si para todo \(B\subseteq […]
Sigue leyendoDefiniciones de continuidad
¿Problemas con demostrar la equivalencia entre la definición métrica de continuidad y la definición topológica? Aquí puedes encontrar esta definición. Sean \((E,d_E),(F,d_F)\) dos espacios métricos y \(f\,\colon\, E\mapsto F\), \(f\) es continua en si y solo si para todo \(A\) […]
Sigue leyendoContinuidad y métrica discreta
¿Sabías que si el dominio de una función está dotado por la métrica discreta, la función es automáticamente continua? En este enlace puedes encontrar la solución a esto. Sean \((E,d_E),(F,d_F)\) dos espacios métricos y \(f\,\colon\, E\mapsto F\) una función. Si […]
Sigue leyendoCaracterización puntual de continuidad
¿Cómo se caracteriza la continuidad en un punto mediante sucesiones? Este ejercicio te ayudará a entender esta relación. Sean \((E,d_E),(F,d_F)\) dos espacios métricos, \(f\,\colon\, E \mapsto F\) y \(a\in E\), \(f\) es continua en \(a\) si y solo si para […]
Sigue leyendoPreimágenes y funciones continuas
¿Qué ocurre con la preimagen de un conjunto cerrado mediante una función continua? En la solución de este ejercicio puedes encontrar la respuesta. Sean \((E,d_E)\), \((F,d_F)\) dos espacios métricos y \(f\,\colon\, E \mapsto F\). Pruebe que \( f \) es […]
Sigue leyendoSucesiones y métricas equivalentes
¿Cómo se comportan la propiedades de las sucesiones mediante métricas equivalentes? Conoce la respuesta aquí. Sean \(E \neq \emptyset \) dotado de dos métricas equivalentes \(d_1\) y \(d_2\), \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x \in E\). Demuestre que \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) […]
Sigue leyendoCaracterización de conjuntos cerrados
¿Conocías están caracterizados los conjuntos cerrado mediante sucesiones? Aquí puedes encontrar su demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(F\subseteq E\). Se tiene que \(F\) es cerrado si y solo si toda sucesión convergente de elementos de \(F\) tiene su […]
Sigue leyendoSucesiones de Cauchy, convergentes y acotadas
¿Qué relación existe entre las sucesiones convergente, las sucesiones de Cauchy y las sucesiones acotadas? Aquí puedes encontrar algunos ejercicios que te pueden guiar en esto. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\). Pruebe que: Si […]
Sigue leyendoSucesiones de Cauchy, subsucesiones y convergencia
¿Si una sucesión de Cauchy posee una subsucesión convergente, entonces la sucesión converge? Aquí puedes encontrar la respuesta a esto. Sean \((E,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x\in E\). Demuestre que si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión […]
Sigue leyendoSubsucesiones y sucesiones
¿Cómo se relacionan los límites de las subsucesiones con el límite de la sucesión? Aquí puedes encontrar la solución a esto. Sean \((E,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x\in E\) talque \(x = \displaystyle \lim_{n \to […]
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