Categoría: Material Nuevo

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad. Sea \(\rho\in\mathcal{C}[a,b]\) tal que \(\rho(t)>0\), para todo \(t\in [a,b]\). Consideremos el funcional: $$\begin{array}{r@{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle […]

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad. Consideremos el espacio \((\mathbb{K}^n,\lVert\cdot\rVert_2)\), con \(n\geq 2\), y \(a\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\), para cada \(x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{K}^n\) consideremos el funcional $$\begin{array}{r@{\,}ccl} f_a \colon & \mathbb{K} & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x […]

¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar. Sean \(E = { x \in \mathcal{C}[a,b]: x’ \in \mathcal{C}[a,b] }\) con la norma \(\lVert x\rVert = \lVert x \rVert_\infty + \lVert […]

¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar. Sea $$\begin{array}{r@{\,}ccl} I_{pq} \colon & (\mathcal{C}[a,b],\lVert \cdot \rVert_p) & \longrightarrow &(\mathcal{C}[a,b],\lVert \cdot \rVert_q) \\ & x & \longmapsto & x \end{array}$$ con […]

¿Problemas con demostrar que dos normas son equivalentes? En este archivo podrás encontrar varios ejemplos de cómo hacerlo. Pruebe que para todo \(x\in \mathbb{R}^n\) se tiene que $$\frac{1}{\sqrt{n}}\lVert x\rVert_1 \leq \lVert x\rVert_2 \leq \lVert x\rVert_1.$$

El Lema de combinaciones lineales nos indica la existencia una constante c con ciertas propiedades, pero no nos indica cómo calcularla. En este ejercicio podrás encontrar su cálculo de manera explícita. En \(\mathbb{R}^2\) considere \(v_1=(1,1)\) y \(v_2=(1,-1)\). Halle el mayor […]

¿Sabias que si la composición iterada de una función es una contracción, entonces la función original tiene un punto fijo? Aquí puedes ver su demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico completo y \(f\,\colon\, E \mapsto E\) una función. Demostrar que […]

¿Sabías que en un espacio normado la norma es una función continua? Aquí puedes encontrar la demostración de esto. Considere \((E,\lVert \cdot \rVert)\) un espacio normado y \((\mathbb{R},d)\) el espacio métrico de los reales con la norma usual.Pruebe que $$ […]

¿Sabías que en un espacio normado la suma es una función continua? Aquí puedes encontrar la demostración de esto. Sean \((E,\lVert \cdot \rVert)\) un espacio vectorial normado, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\), \((y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) dos sucesiones de \(E\) y \(x,y \in E\). Si $$ x_n […]

¿Cómo caracterizar la convergencia en el producto de espacios normados? En este ejercicio puedes encontrar una respuesta. Sean \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) y \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sucesiones de los espacios normados \(E\) y \(F\), respectivamente. Pruebe que $$ \lVert (u_n , v_n) – (a,b)\rVert_p \xrightarrow{} […]