¿Sabias que la matrica discreta siempre hace completo al espacio? Aquí puedes ver su demostración. Sea \((E,d)\) un espacio métrico con \(E \neq \emptyset \) y \(d\) es la métrica discreta. Pruebe que \((E,d)\) es un espacio completo.
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Completitud de espacios de sucesiones
¿Problemas en analizar la completitud de espacios de sucesiones? Aquí puedes encontrar un ejercicio que te puede guiar. Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es completo. Pruebe que \((\ell^\infty,d_\infty )\) es completo, donde $$\ell^\infty = \{ (x_n)_{x\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N} : (x_n) \text{ […]
Sigue leyendoSubespacios completos
¿Cómo demostrar que un subespacio es completo utilizando el hecho de que el espacio es completo? Encuentra la respueta en la solución de este ejercicio. En \(\mathbb{R}\), sean \(a<b\). Consideremos el conjunto $$F=\{f\in \mathcal{C}[a,b]: f(a)=f(b)\}.$$ Pruebe que el subespacio \((F,d_\infty)\)), […]
Sigue leyendoConvergencia con la métrica infinito
¿Sabias que la convergencia uniforme y la convergencia en la métrica infito coinciden? Aquí puedes encontrar la demsotración de este hecho. Sean \(a,b\in\mathbb{R}, a<b\). Pruebe que para una sucesión \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) en \(\mathcal{C} [a,b]\) se tiene que \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge en \((\mathcal{C}[a,b],d_\infty)\) […]
Sigue leyendoCompletitud de espacios discretos
¿Todo espacio discreto es completo? Mira la solución de este ejercicio para que encuentres la respuesta. En \(\mathbb{N}^*\), consideremos la métrica dada por: $$\begin{array}{r@{\,}ccl} d \colon & \mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (m,n) & \longmapsto & \left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|\end{array}$$
Sigue leyendoCompletitud de espacios
¿Problemas en analizar la completitud de espacios de sucesiones? Aquí puedes encontrar un ejercicio que te puede guiar. En \((\ell^\infty,d_\infty)\), sea $$M={(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\ell^\infty: (\exists n\in\mathbb{N})(\forall k > n)(x_k=0)},$$ pruebe que \((M,d_\infty)\) no es completo.
Sigue leyendoEspacios completos
¿Problemas en demostrar que un espacio es completo? La solución de este ejercicio te puede orientar. Usando el hecho que \((\mathbb{R},|\cdot|) \) es completo, demuestre que \((\mathbb{R}^n,d_\infty)\), con \(n>1\), es completo.
Sigue leyendoBiyectividad y continuidad
¿Existen funciones biyectivas y continua cuya inversa no sea continua? Aquí puedes encotrar la respuesta. Dar un ejemplo de una función biyectiva que sea continua pero cuya inversa no lo sea.
Sigue leyendoFunciones continuas y conjuntos densos
¿Sabías que las funciones contiuas y sobreyectivas envían conjuntos densos en conjuntos densos? Aquí podrás encontrar la demostración. Sean \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) espacios métricos, y \(f\,\colon\, E \mapsto F\) una función continua y sobreyectiva. Demostrar que si \(A\) es denso […]
Sigue leyendoFuncionales discontinuos
¿Conoces algún ejemplo de funcionales discontinuos? ¿Cómo se pueden transformar en continuos? En la solución de este ejercicio puedes encontrar la respuesta. Dada la función $$\begin{array}{r@{\,}ccl}\phi\colon & \mathcal{C}^1[a,b] & \longrightarrow & \mathcal{C}[a,b] \\ & f & \longmapsto & \displaystyle \phi(f)=f’\end{array}$$ […]
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