Categoría: Pregrado

Todo espacio prehilbertiano separable posee una familia ortonormal maximal contable

Ejercicio 1. Todo espacio prehilbertiano separable posee una familia ortonormal maximal contable. Sea \(H\) un espacio prehilbertiano. P.D. \(\exists \left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) familia ortonormal en \(H\) tal que \[\overline{\mathop{\mathrm{span}}\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}} = H.\] Como \(H\) es separable, entonces existe un conjunto numerable denso en […]

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¿Intercambiar la integral y el límite?

Teorema 1. Sean \(\newcommand{\eval}[2]{\Big | _{#1}^{#2}} \newcommand{\Eval}[2]{\Bigg | _{#1}^{#2}}a<b\) y \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión acotada de funciones reales. Entonces \[\lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\, dx = \int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n(x)\, dx.\] Ejercicio 1. Verifique que \[\lim_{n\to +\infty}\int_0^1 n^2 x^n(1-x)\, dx \neq \int_0^1 […]

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Cálculo de una integral real utilizando una compleja II

Ejercicio. El objetivo de este ejercicio es demostrar que \[ \int_0^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}\, dx=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}. \] Se considera la siguiente gráfica con \(R > 1\), \(z_1=\frac{1+i}{2}\) y \(z_2=\frac{-1+i}{2}\); y tomando \(C = C_1\cup C_2\). Siga los siguientes pasos: Factorice el polinomio \(z^4+1\). […]

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Cálculo de una integral compleja

Ejercicio 1. Sea \(\alpha\in\mathbb{C}\) tal que \(\mathop{\mathrm{Re}}(\alpha)>1\). Para demostrar que \[\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-t}-e^{-\alpha t}}{t}\, dt =\mathop{\mathrm{Log}}(\alpha).\] vamos a calcular \[\int_C \dfrac{e^{-z}}{z}\, dz,\] donde \(C\) es la curva dada por la unión de \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) y \(C_4\) dadas por la siguiente gráfica […]

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