Categoría: Pregrado

Demostración de que un conjunto es convexo

Ejercicio 1. Demostrar que el conjunto \[A = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x>0\ \land\ y>\frac{1}{x} \right\}\] es convexo. Primero, consideremos la función \[% { \begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f\ \colon & \left]0,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle\frac{1}{x}\ ; \end{array} }\] notemos que, […]

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¿Cuántos términos tiene el desarrollo de la potencia n de k términos?

¿Cuántos términos tiene el desarrollo de la potencia \(n\) de \(k\) términos? Es decir, al desarrollar \[(a_1+a_2+\cdots+a_k)^n,\] ¿cuántos términos aparecen? Para responder esta pregunta es preciso expresar de forma exacta la pregunta. Ejercicio 1. Dados \(n,k\in\mathbb{Z}^+\) y \(a_0,a_1,\ldots,a_m\) variables distintas, […]

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Cálculo de normas de funcionales 3

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad. Sea \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x(a)-x\left(\tfrac{a+b}{2} \right)+x(b). \end{array}$$ Pruebe que \(f\in \left(\mathcal{C}[a,b]\right)^* […]

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Cálculo de normas de funcionales 2

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad. Sea \(\rho\in\mathcal{C}[a,b]\) tal que \(\rho(t)>0\), para todo \(t\in [a,b]\). Consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle […]

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Cálculo de normas de funcionales

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad. Consideremos el espacio \((\mathbb{K}^n,\lVert\cdot\rVert_2)\), con \(n\geq 2\), y \(a\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\), para cada \(x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{K}^n\) consideremos el funcional $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_a \colon & \mathbb{K} & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x […]

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