A continuación puedes encontrar apuntes sobre el Teorema de Fenchel-Rockafellar. Esperamos te sean útiles y nos ayudes reportando cualquier inconsistencia en los mismos.
Sigue leyendoCategoría: Pregrado
Teorema de Diferenciación de Lebesgue
A continuación puedes encontrar apuntes sobre el Teorema de Diferenciación de Lebesgue. Esperamos te sean útiles y nos ayudes reportando cualquier inconsistencia en los mismos.
Sigue leyendoCriterio para separabilidad de un Espacio de Banach
Proposición 1. Sean \(F\subseteq E\) con \(E\) y \(F\) espacios vectoriales. Si para todo \(f\in E'\) tal que \(f\) se anula en \(F\) se tiene que \(f\) se anula en \(E\), entonces \(F\) es denso en \(E\), es decir, \[\overline{F} […]
Sigue leyendoPropiedades algebraicas de la diferenciación
Ejercicio 1 (Linealidad de la derivada). Sean \(E,F\) espacios normados, \(U\subseteq E\) abierto y \(f,g\colon U \rightarrow F\) funciones dierenciables en \(u_0\in U\). Entonces, \(\alpha f+g\) es diferenciable en \(u_0\) para todo \(\alpha\in\mathbb{K}\) y \[D(\alpha f +g)(u_0) = \alpha Df(u_0) […]
Sigue leyendoLema de Farkas
Teorema 1 (Lema de Farkas). Sean \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) y \(b\in\mathbb{R}^m\). Entonces, exactamente uno de los siguientes conjuntos debe ser vacío: \(A:=\left\{x\in\mathbb{R}^n\,:\, Ax=b,\, x\geq 0\right\}\); \(B:= \left\{y\in\mathbb{R}^m\,:\,A^Ty\geq 0,\, b^Ty<0\right\}\). Demostración. Sean \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) y \(b\in\mathbb{R}^m\), cualesquiera. Primera etapa En una primera […]
Sigue leyendoEspacio Cociente
A continuación se encuentra un breve repaso sobre los Espacios Cocientes y algunas propiedades de los mismos, así como algunos ejercicios al final del texto. Espacios Cocientes Introducción Sean \((V,+,\cdot,\mathbb{K})\) un espacio vectorial y \(W\) un subespacio vectorial de \(V\). […]
Sigue leyendoEjercicios para Introducción al Análisis en Espacios de Banach y Hilbert
A continuación encontrarás una selección de algunos ejercicios útiles para profundizar en la materia de Introducción al Análisis en Espacios de Banach y Hilbert. Estos ejercicios han sido recopilados a partir de la bibliografía recomendada para el curso. Las notaciones […]
Sigue leyendoTeorema de Hanh-Banach — Forma Analítica-Algebráica
Teorema 1. Sea \(E\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\), \(F\) un subespacio vectorial de \(E\) y \(g\colon F \rightarrow \mathbb{K}\) un funcional lineal tal que \[\begin{cases} g(x) \leq p(x) & \quad \forall x\in F \quad \text{ si }\quad \mathbb{K}=\mathbb{R}\\ \text{Re}(g(x)) […]
Sigue leyendoTodo espacio prehilbertiano separable posee una familia ortonormal maximal contable
Ejercicio 1. Todo espacio prehilbertiano separable posee una familia ortonormal maximal contable. Sea \(H\) un espacio prehilbertiano. P.D. \(\exists \left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) familia ortonormal en \(H\) tal que \[\overline{\mathop{\mathrm{span}}\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}} = H.\] Como \(H\) es separable, entonces existe un conjunto numerable denso en […]
Sigue leyendo¿Intercambiar la integral y el límite?
Teorema 1. Sean \(\newcommand{\eval}[2]{\Big | _{#1}^{#2}} \newcommand{\Eval}[2]{\Bigg | _{#1}^{#2}}a<b\) y \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión acotada de funciones reales. Entonces \[\lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\, dx = \int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n(x)\, dx.\] Ejercicio 1. Verifique que \[\lim_{n\to +\infty}\int_0^1 n^2 x^n(1-x)\, dx \neq \int_0^1 […]
Sigue leyendo