¿Sabías que la derivada no es un operador acotado? Aquí puedes encontrar la demostración.
Pruebe que el operador $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} T \colon & \mathcal{C}^1[a,b] & \longrightarrow &\mathcal{C}[a,b]\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x’ \end{array} $$ es lineal y no acotado (considerando la norma \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) en el espacio de salida y de llegada).
Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.
Para cada \(n\in\mathbb{N}\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_n \colon & \mathcal{C}[0,1] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \int_{-1}^1 t^n x(t) \, dt. \end{array}$$ Halle \(\lVert f_n\rVert_\infty\) para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.
Sea \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x(a)-x\left(\tfrac{a+b}{2} \right)+x(b). \end{array}$$ Pruebe que \(f\in \left(\mathcal{C}[a,b]\right)^* \) y halle \(\lVert f\rVert\).
Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.
Sea \(\rho\in\mathcal{C}[a,b]\) tal que \(\rho(t)>0\), para todo \(t\in [a,b]\). Consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \int_{a}^b \rho(t)x(t) \, dt. \end{array}$$ Pruebe que \(f\) es lineal, acotado en \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\) y halle \(\lVert f\rVert\).
Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.
Consideremos el espacio \((\mathbb{K}^n,\lVert\cdot\rVert_2)\), con \(n\geq 2\), y \(a\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\), para cada \(x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{K}^n\) consideremos el funcional $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_a \colon & \mathbb{K} & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k x_k \end{array}$$ Pruebe que \(f\) es lineal, acotado y que \(\lVert f\rVert=\lVert a\rVert _2 \).
¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar.
Sean \(E = { x \in \mathcal{C}[a,b]: x’ \in \mathcal{C}[a,b] }\) con la norma \(\lVert x\rVert = \lVert x \rVert_\infty + \lVert x’\rVert_\infty \) par \(x\in E\) y \(c \in ]a,b[\). Pruebe si los siguientes operadores son lineales y acotados: $$\begin{array}{ll} \begin{array}{[email protected]{\,}ccl}T_1 \colon & E & \longrightarrow & E\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x'(c)\cdot x \end{array} & \begin{array}{[email protected]{\,}ccl} T_2 \colon & E & \longrightarrow & E \\ & x & \longmapsto &\displaystyle x'(c)+x \end{array} \end{array}$$ En caso de que el operador sea acotado, halle su norma.
¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar.
Sea $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} I_{pq} \colon & (\mathcal{C}[a,b],\lVert \cdot \rVert_p) & \longrightarrow &(\mathcal{C}[a,b],\lVert \cdot \rVert_q) \\ & x & \longmapsto & x \end{array}$$ con \(p,q \in \left[1,+\infty \right[\). Pruebe que:
¿Problemas con demostrar que dos normas son equivalentes? En este archivo podrás encontrar varios ejemplos de cómo hacerlo.
Pruebe que para todo \(x\in \mathbb{R}^n\) se tiene que $$\frac{1}{\sqrt{n}}\lVert x\rVert_1 \leq \lVert x\rVert_2 \leq \lVert x\rVert_1.$$
El Lema de combinaciones lineales nos indica la existencia una constante c con ciertas propiedades, pero no nos indica cómo calcularla. En este ejercicio podrás encontrar su cálculo de manera explícita.
En \(\mathbb{R}^2\) considere \(v_1=(1,1)\) y \(v_2=(1,-1)\). Halle el mayor \(c>0\) tal que $$\left\lVert \sum_{k=1}^2\alpha_k v_k \right\rVert \geq c \lVert\alpha \rVert_1 $$ para todo \(\alpha\in\mathbb{R}^2\).
¿Sabias que si la composición iterada de una función es una contracción, entonces la función original tiene un punto fijo? Aquí puedes ver su demostración.
Sean \((E,d)\) un espacio métrico completo y \(f\,\colon\, E \mapsto E\) una función. Demostrar que si la función $$f^n=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}_{\text{n veces}}$$ es una contracción, entonces \(f\) tiene un único punto fijo.