Categoría: Análisis Matemático

¿Sabías que entre espacios homeomorfos no se preserva la completitud? Aquí puedes ver un ejemplo de esto. Si \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son dos espacios métricos isomorfos, pruebe que \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) son homeomorfos. Dé un ejemplo de dos espacios homeomorfos, […]

¿Sabías que si dos espacios son isomorfos, o ambos son completos o ambos son incompletos? Aquí puedes encontrar la demostración. Pruebe que si \((E_1,d_1)\) y \((E_2,d_2)\) son isomorfos, entonces $$ (E_1,d_1) \text{ es completo} \quad\text{si y solo si}\quad(E_2,d_2) \text{ es completo}. $$

¿Cómo se pueden construir isomorfismos? En este ejercicio puedes ver algunos ejemplos. Sean \(a,b \in \mathbb{R}\) con \(a<b\), tome \(E_1 = [0,1], \; E_2=[1,3]\) y \(E = [a,b]\). Considere el espacio ((E,|\cdot |)\), determine métricas \(d_1\) y \(d_2\) sobre \(E_1\) […]

¿Sabías que podemos ver al conjunto de los números reales como la completación del conjunto de los números racionales? Aquí puedes encontrar la demostración. Sea \((\mathbb{Q},|\cdot |)\) un espacio métrico con la distancia usual dado por el valor absoluto, pruebe […]

¡Seguimos con demostraciones de espacios completos! Esperamos que estos ejercicios te sean de ayuda. Para \(x , y \in \mathbb{R}\), sea \(d(x,y) = |\arctan (x) – \arctan (y)|\). Pruebe que \((\mathbb{R},d)\) es un espacio métrico incompleto.

¿Sabias que la matrica discreta siempre hace completo al espacio? Aquí puedes ver su demostración. Sea \((E,d)\) un espacio métrico con \(E \neq \emptyset \) y \(d\) es la métrica discreta. Pruebe que \((E,d)\) es un espacio completo.

¿Problemas en analizar la completitud de espacios de sucesiones? Aquí puedes encontrar un ejercicio que te puede guiar. Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es completo. Pruebe que \((\ell^\infty,d_\infty )\) es completo, donde $$\ell^\infty = \{ (x_n)_{x\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N} : (x_n) \text{ […]

¿Cómo demostrar que un subespacio es completo utilizando el hecho de que el espacio es completo? Encuentra la respueta en la solución de este ejercicio. En \(\mathbb{R}\), sean \(a<b\). Consideremos el conjunto $$F=\{f\in \mathcal{C}[a,b]: f(a)=f(b)\}.$$ Pruebe que el subespacio \((F,d_\infty)\)), […]

¿Sabias que la convergencia uniforme y la convergencia en la métrica infito coinciden? Aquí puedes encontrar la demsotración de este hecho. Sean \(a,b\in\mathbb{R}, a<b\). Pruebe que para una sucesión \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) en \(\mathcal{C} [a,b]\) se tiene que \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge en \((\mathcal{C}[a,b],d_\infty)\) […]

¿Todo espacio discreto es completo? Mira la solución de este ejercicio para que encuentres la respuesta. En \(\mathbb{N}^*\), consideremos la métrica dada por: $$\begin{array}{r@{\,}ccl} d \colon & \mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (m,n) & \longmapsto & \left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|\end{array}$$