Categoría: Análisis Matemático

¿Cómo se comportan la propiedades de las sucesiones mediante métricas equivalentes? Conoce la respuesta aquí. Sean \(E \neq \emptyset \) dotado de dos métricas equivalentes \(d_1\) y \(d_2\), \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x \in E\). Demuestre que \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) […]

¿Conocías están caracterizados los conjuntos cerrado mediante sucesiones? Aquí puedes encontrar su demostración. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(F\subseteq E\). Se tiene que \(F\) es cerrado si y solo si toda sucesión convergente de elementos de \(F\) tiene su […]

¿Qué relación existe entre las sucesiones convergente, las sucesiones de Cauchy y las sucesiones acotadas? Aquí puedes encontrar algunos ejercicios que te pueden guiar en esto. Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\). Pruebe que: Si […]

¿Si una sucesión de Cauchy posee una subsucesión convergente, entonces la sucesión converge? Aquí puedes encontrar la respuesta a esto. Sean \((E,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x\in E\). Demuestre que si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión […]

¿Cómo se relacionan los límites de las subsucesiones con el límite de la sucesión? Aquí puedes encontrar la solución a esto. Sean \((E,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x\in E\) talque \(x = \displaystyle \lim_{n \to […]

¿Sabías que el espacio de funciones acotadas junto a la norma del supremo no es separable? Aquí puedes encontrar su demostración. Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\) y consideremos \( (\mathcal{B}[a,b], d_\infty) \), el espacio de las funciones reales acotadas definidas […]

¿Problemas con demostrar que un conjunto es abierto en un espacio funcional? Aquí puedes encontrar un ejemplo que te ayudará. Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\) y consideremos \((\mathcal{C}[a,b], d_\infty) \), el espacio de las funciones reales continuas definidas sobre \([a,b]\) […]

¿Es lo mismo la bola cerrada que la clausura de la bola abierta? Aquí puedes encontrar la respuesta a esta pregunta. Dé un ejemplo de un espacio métrico \((E,d)\) donde, para \(a\in E\) y \(r>0\), se tenga que \(\overline{B(a,r)}\neq\overline{B}(a,r)\).

¿Qué relación tiene el interior de una intersección con la intersección de los interiores? Aquí puedes encontrar varios ejercicios respecto a esto. Sea \(\{ A_{i}\} _{i\in I} \) una familia de subconjuntos de un espacio topológico \(E\). Demostrar que \(\displaystyle\bigcup_{i\in […]

¿Qué relación tiene la clausura de una intersección con la intersección de las clausuras? Aquí puedes encontrar varios ejercicios respecto a esto. Sean \((E,\tau)\) un espacio topológico y \(\{A_i\}_{i\in I}\) una familia de subconjuntos de \(E\). Demostrar que \(\displaystyle\bigcup_{i\in I} […]