Determinar Espacio Generado

Ejercicio 1. En \(\mathbb{R}^4\), determine el espacio generado por: \[S = \big\{ (1,0,1,0),\ (2,1,2,0),\ (1,1, 1,1)\big\}.\] Escriba el conjunto en función de sus restricciones.

Solución. Planteó la combinación lineal para \((x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4\). Tomo \(\alpha, \beta, \delta \in \mathbb{R}\) que cumplan: \[\alpha(1,0,1,0)+\beta(2,1,2,0)+\delta(1,1,1,1)=(x_1,x_2,x_3,x_4).\] Multiplico \(\alpha, \beta, \delta\) para cada vector: \[(\alpha,0,\alpha,0) + (2\beta,\beta,2\beta,0)+(\delta,\delta,\delta,\delta)=(x_1,x_2,x_3,x_4).\] Sumo los vectores: \[( \alpha+2\beta+\delta,\ 0+\beta+\delta,\ \alpha+2\beta+\delta,\ 0+0+\delta)=(x_1,x_2,x_3,x_4).\] Planteó el sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{rrrl} \alpha&+2\beta&+\delta&= x_1,\\ &\beta&+\delta&=x_2,\\ \alpha&+2\beta&+\delta&= x_3,\\ &&\delta&=x_4{.} \end{array}\right.\] Debo analizar cuándo el sistema tiene solución, para ello, planteo la matriz ampliada del sistema: \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & x_1 \\ 0 & 1 & 1 & | & x_2 \\ 1 & 2 & 1 & | & x_3 \\ 0 & 0 & 1 & | & x_4 \end{pmatrix}.\] Ahora, hallo su forma escalonada reducida (usando el método .echelon_form() de python): \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & x_1 \\ 0 & 1 & 1 & | & x_2 \\ 0 & 0 & 1 & | & x_4 \\ 0 & 0 & 0 & | & x_3-x_1 \end{pmatrix}.\] El sistema tiene solución cuando \(x_3-x_1=0\) Así, obtengo que \[\mathop{\mathrm{gen}}(S)=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_3-x_1=0\}.\] 

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