Completitud de espacios de sucesiones

¿Problemas en analizar la completitud de espacios de sucesiones? Aquí puedes encontrar un ejercicio que te puede guiar.

Suponga conocido que \((\mathbb{R},d)\) es completo. Pruebe que \((\ell^\infty,d_\infty )\) es completo, donde $$\ell^\infty = \{ (x_n)_{x\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N} : (x_n) \text{ es acotada}\}$$ y, para \((x_n){x\in\mathbb{N}},(y_n){x\in\mathbb{N}} \in \ell^\infty\), $$d_\infty (x_n , y_n) = \sup \{ |x_k – y_k| : k \in \mathbb{N} \}. $$