Contracciones y puntos fijos

¿Sabias que si la composición iterada de una función es una contracción, entonces la función original tiene un punto fijo? Aquí puedes ver su demostración.

Sean \((E,d)\) un espacio métrico completo y \(f\,\colon\, E \mapsto E\) una función. Demostrar que si la función $$f^n=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}_{\text{n veces}}$$ es una contracción, entonces \(f\) tiene un único punto fijo.