Convergencia con la métrica infinito

¿Sabias que la convergencia uniforme y la convergencia en la métrica infito coinciden? Aquí puedes encontrar la demsotración de este hecho.

Sean \(a,b\in\mathbb{R}, a<b\). Pruebe que para una sucesión \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) en \(\mathcal{C} [a,b]\) se tiene que \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge en \((\mathcal{C}[a,b],d_\infty)\) si y solo si \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge uniformemente.