Una función en $H^2$ que no está en $H^3$.

En esta pequeña entrada les presento un ejemplo de una función que pertenece al espacio de Sobolev $H^2$ pero no a $H^3$.

Consideremos en $\mathbb{R}$, $\Omega=(-1,1)$ y la función

\[% { \begin{array}{r@{\,}ccl} u\colon & (-1,1) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \begin{cases} \frac{x^2}{2} & \text{si } 0 \leq x < 1, \\ -\frac{x^2}{2} & \text{si } -1 < x <0. \end{cases} \end{array} }\]

De esta manera, $u$ es de clase $C^1$ y en consecuencia está en $H^1$. Además, como la derivada de $u$ corresponde a la función valor absoluto en el intervalo $(-1,1)$ la cual es derivable débilmente y cuya derivada es la función de Heaviside entonces $u\in H^2$. No obstante, es conocido que la función de Heaviside no es débilmente derivable, pues en el sentido distribucional su derivada es la masa de Dirac en $0$ la cual no está asociada a una distribución regular. En consecuncia $u\not\in H^3$.

Nota: Esta función fue sugerida por Rubén Túquerrez.

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