Demostración de que un conjunto es convexo

Ejercicio 1. Demostrar que el conjunto \[A = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x>0\ \land\ y>\frac{1}{x} \right\}\] es convexo.

Primero, consideremos la función \[% { \begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f\ \colon & \left]0,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle\frac{1}{x}\ ; \end{array} }\] notemos que, para todo \(x\in \left]0,+\infty\right[\), \[f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0,\] por lo tanto, \(f\) es una función convexa, de donde, para todo \(x_1,x_2\in \left]0,+\infty\right[\) y \(\alpha\in[0,1]\), tenemos \[f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2),\] es decir \[\frac{1}{\alpha x_1+(1-\alpha)x_2}\leq \alpha \frac{1}{x_1}+(1-\alpha)\frac{1}{x_2}.\]

Ahora, tomemos \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A\) y \(\alpha\in[0,1]\), vamos a demostrar que \[\alpha (x_1,y_1)+(1-\alpha)(x_2,y_2)\in A.\] Como \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A\), entonces \[x_1>0\ \land\ y_1>\frac{1}{x_1} \qquad\text{y}\qquad x_2>0\ \land\ y_2>\frac{1}{x_2}\ ;\] por lo tanto, \[\alpha x_1+(1-\alpha)x_2 > 0\] y utilizando el hecho de que \(f\) es convexa, tenemos \[\alpha y_1+(1-\alpha)y_2 > \alpha \frac{1}{x_1}+(1-\alpha)\frac{1}{x_2} \geq \frac{1}{\alpha x_1+(1-\alpha)x_2}.\] Así, se tiene que \[\big(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2\ ,\ \alpha y_1+(1-\alpha)y_2\big)\in A,\] con lo cual, concluimos que \(\alpha (x_1,y_1)+(1-\alpha)(x_2,y_2)\in A\), por ende, \(A\) es convexo.