Demostración de que un operador cerrado sobre un compacto es acotado

Ejercicio 1. Sean \(E\) y \(F\) espacios normados y \(T\colon E \rightarrow F\) un operador lineal cerrado. Si \(F\) es compacto, demuestre que \(T\) es acotado.

Demostración. Primero, notemos que demostrar que \(T\) es acotado es equivalente a demostrar que \(T\) es continua en \(0\). Con esto en mente, por reducción al absurdo, supongamos que \(T\) no es continua en \(0\), por lo tanto, existe una sucesión \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) en \(E\) tal que \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) converge a \(0\) pero \(\left(Tx_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) no converge a \(T(0)=0\).

Como \(\left(Tx_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) no converge a \(0\), existe una subsucesión \(\left(Tx_{n_k}\right)_{k\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) tal que ninguna subsucesión de \(\left(Tx_{n_k}\right)_{k\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) converge a \(0\). Por otro lado, como \(\left(Tx_{n_k}\right)_{k\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) es una sucesión en \(F\) y \(F\) es compacto, entonces posee una subsucesión convergente, es decir, existen \(\left(Tx_{n_{k_m}}\right)_{m\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) y \(y\in F\) tal que \[Tx_{n_{k_m}} \to y\] cuando \(m\to+\infty\). Con esto, tenemos que \[\left( x_{n_{k_m}}\ ,\ Tx_{n_{k_m}}\right) \to (0,y)\] cuando \(m\to+\infty\). Además, como \(T\) es cerrado (ver definición al final), se tiene que \(y=T(0)\), y como \(T\) es lineal, \(y=0\), de donde, se concluye que \(\left(Tx_{n_{k_m}}\right)_{m\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) converge a \(0\), lo cual es contradictorio.

Así, queda demostrado que \(T\) es continuo en \(0\) y, por lo tanto, acotado.

Definición 1. Sean \(E\) y \(F\) espacios normados y \(T\colon E \rightarrow F\) un operador lineal. Decimos que \(T\) es un cerrado si \(T\), visto como subconjunto de \(E\times F\) es cerrado en \(E\times F\).

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