¿Intercambiar la integral y el límite?

Teorema 1. Sean \(\newcommand{\eval}[2]{\Big | _{#1}^{#2}} \newcommand{\Eval}[2]{\Bigg | _{#1}^{#2}}a<b\) y \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión acotada de funciones reales. Entonces \[\lim_{n\to +\infty} \int_a^b f_n(x)\, dx = \int_a^b \lim_{n\to +\infty} f_n(x)\, dx.\]

Ejercicio 1. Verifique que \[\lim_{n\to +\infty}\int_0^1 n^2 x^n(1-x)\, dx \neq \int_0^1 \lim_{n\to +\infty} n^2 x^n(1-x)\, dx.\]

Solución. Vamos a calcular cada valor por separado:

  1. Sea \(n\in\mathbb{N}\), se tiene que \[\begin{aligned} \int_0^1 n^2 x^n(1-x)\, dx &=n^2 \int_0^1 x^n-x^{n+1}\, dx\\ &=n^2\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}-\dfrac{x^{n+2}}{n+2}\right)\Eval{0}{1} \\ &=n^2\left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right)\\ &=\dfrac{n^2}{n^2+3n+2}. \end{aligned}\] Ahora bien, tomando el límite cuando \(n\to+\infty\) de la última expresión, se tiene que \[\begin{aligned} \lim_{n\to +\infty}\int_0^1 n^2 x^n(1-x)\, dx &=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2}{n^2+3n+2}\\ &=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}\\ &=\dfrac{1}{\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}\\ &=\dfrac{1}{1+0+0}\\ &=1. \end{aligned}\]

  2. Dado \(x\in\left[0,1\right[\), se tiene que \[\begin{aligned} \lim_{n\to +\infty} n^2 x^n &=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2}{x^{-n}}\\ &=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2n}{-x^{-n}}\\ &=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2}{x^{-n}}\\ &=\lim_{n\to +\infty}2x^{n}\\ &=0, \end{aligned}\] en donde en la segunda y tercera igualdad se ha utilizado la regla de L’Hopital; mientras que en la última igualdad se verifica pues \(0\leq x<1\). Además, como \(n^2x^n(1-x)\eval{x=1}{}=0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), se sigue que, para todo \(x\in\left[0,1\right]\), \[\lim_{n\to +\infty} n^2 x^n(1-x)=0.\] Entonces \[\int_0^1 \lim_{n\to +\infty} n^2 x^n(1-x)\, dx =\int_0^1 0 \, dx =0.\]

Por este análisis, se tiene que \[\lim_{n\to +\infty}\int_0^1 n^2 x^n(1-x)\, dx =1 \neq 0=\int_0^1 \lim_{n\to +\infty} n^2 x^n(1-x)\, dx.\] 

Teorema 2. Sea \(a\in\mathbb{R}\) y \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de funciones reales. Si existe \(g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \[\|f_n\|_\infty\leq \|g\|_\infty, \qquad \text{para todo $n\in\mathbb{N}$;}\] donde la norma es tomada como el supremo en \(\left[a,\infty\right[\); y \(\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)\,dx <+\infty\), entonces \[\lim_{n\to +\infty} \int_a^{+\infty} f_n(x)\, dx = \int_a^{+\infty} \lim_{n\to +\infty} f_n(x)\, dx.\]

Ejercicio 2. Verifique que \[\lim_{n\to +\infty}\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n}\, dx \neq \int_0^{+\infty} \lim_{n\to +\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n}\, dx.\]

Solución. Vamos a calcular cada valor por separado:

  1. Sea \(n\in\mathbb{Z}^+\), se tiene que \[\begin{aligned} \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n}\, dx &=\dfrac{1}{n}\int_0^{+\infty} e^{-\frac{x}n}\, dx\\ &=\dfrac{1}{n}\left(-n e^{-\frac{x}n}\right)\Eval{0}{+\infty}\\ &= \dfrac{1}{n}(-0+n)\\ &=1. \end{aligned}\] Ahora bien, tomando el límite cuando \(n\to+\infty\) de la última expresión, se tiene que \[\begin{aligned} \lim_{n\to +\infty}\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n}\, dx &=\lim_{n\to +\infty}\ 1\\ &=1. \end{aligned}\]

  2. Dado \(x\geq 0\), se tiene que \[0 \leq \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n} \leq \dfrac{1}{n},\] para todo \(n\in\mathbb{Z}^+\). De la última desigualdad y como \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac1 n =0\), por el Teorema del Sánduche, se tiene que \[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n} =0.\] Entonces \[\int_0^{+\infty} \lim_{n\to +\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n}\, dx =\int_0^{+\infty} 0 \, dx =0.\]

Por este análisis, se tiene que \[\lim_{n\to +\infty}\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n}\, dx =1 \neq 0 =\int_0^{+\infty} \lim_{n\to +\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}n}}{n}\, dx.\] 

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