Sucesiones de Cauchy, convergentes y acotadas

¿Qué relación existe entre las sucesiones convergente, las sucesiones de Cauchy y las sucesiones acotadas? Aquí puedes encontrar algunos ejercicios que te pueden guiar en esto.

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\). Pruebe que:

  • Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es convergente entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy;
  • Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es acotada.