Sucesiones y métricas equivalentes

¿Cómo se comportan la propiedades de las sucesiones mediante métricas equivalentes? Conoce la respuesta aquí.

Sean \(E \neq \emptyset \) dotado de dos métricas equivalentes \(d_1\) y \(d_2\), \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x \in E\). Demuestre que

  • \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) es de Cauchy en \((E,d_1)\) si y solo si \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) es de Cauchy en \((E,d_2)\);
  • \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) converge hacia \(x\) en \((E,d_1)\) si y solo si \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) converge hacia \(x\) en \((E,d_2)\).