Completación de una base de Hamel

Ejercicio 1. Sea \(E\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\), \(W\) un subespacio vectorial no nulo de \(E\) y \(B_W\) una base de Hamel para \(W\). Muestre que \(B_W\) puede ser completado a una base de Hamel para \(E\).

Demostración. Tomemos \[\mathcal{B} = \{B\subseteq E:B_W\subseteq B\text{ y $B$ es un conjunto linealmente independeinte}\}.\] Este conjunto es no vacío pues \(B_W \in \mathcal{B}\); además, es parcialmente ordenado por el orden \(\subseteq\). Vamos a probar que cumple la hipótesis del Lema de Zorn.

Sea \(\mathcal{C}\subseteq \mathcal{B}\) una cadena. Tomemos \[M = \bigcup_{C\in\mathcal{C}} C.\] Se tiene que \(M\) es un conjunto linealmente independiente, pues sean \(x_1,\ldots,x_n\in M\) y \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathbb{K}\) tales que \[\alpha_1 x_1 + \cdots +\alpha_n x_n = 0.\] Tenemos que, para cada \(i\in\{1,\ldots,n\}\), existe \(C_i\in \mathcal{C}\) tales que \(x_i\in C_i\). Como \(\mathcal{C}\) es una cadena, podemos tomar \(n_0\in\{1,\ldots,n\}\) tal que \[C_{n_0} = \max\{C_i:i\in\{1,\ldots,n\}\},\] donde este máximo es tomado bajo la relación de orden \(\subseteq\), por lo tanto, para cada \(i\in\{1,\cdots,n\}\) \[x_i\in C_i \subseteq C_{n_0},\] Como \(C_{n_0}\) es un conjunto linealmente independiente, podemos concluir que \(\alpha_i=0\) para todo \(i\in\{1,\cdots,n\}\). Por otro lado, \(B_W\subset M\); por lo tanto, \(M\in\mathcal{B}\). Finalmente, por la forma en la que está definido \(M\), se tiene que es una cota superior de \(\mathcal{C}\).

Con esto, se puede utilizar el Lema de Zorn, es decir, existe \(B\in\mathcal{B}\) tal que \(B\) es un elemento maximal de \(\mathcal{B}\). Por lo tanto, \(B\) es linealmente independiente y \(B_W\subseteq B\).

Ahora, procederemos a demostrar que \(B\) genera a \(E\). Por reducción al absurdo, supongamos que existe \(x\in E\) tal que \(x\) no pertenece al conjunto generado por \(B\). Tomemos \[\hat{B} = B \cup \{x\},\] se tiene que \(B_W\subseteq \hat{B}\), además, es un conjunto linealmente independiente pues sean \(x_1,\ldots,x_n\in \hat{B}\) y \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathbb{K}\) tales que \[\alpha_1 x_1 + \cdots +\alpha_n x_n = 0.\] Si \(x\in \{x_1,\ldots,x_n\}\), tenemos que \(x\) se lo puede expresar como combinación lineal de elementos de \(B\), lo cual es contradictorio. Por otro lado, si \(x\not\in \{x_1,\ldots,x_n\}\), se tendría que \(x_1,\ldots,x_n\in B\), el cual es un conjunto linealmente independiente, de donde se concluiría que \(\alpha_i=0\) para todo \(i\in\{1,\cdots,n\}\), por lo tanto \(\hat{B}\in\mathcal{B}\) y \(B\subseteq\hat{B}\), lo cual también es contradictorio pues \(B\) es maximal.

Así, concluimos que \(B\) es un base de Hamel la cual completa a \(B_W\)