Espacio Cociente

A continuación se encuentra un breve repaso sobre los Espacios Cocientes y algunas propiedades de los mismos, así como algunos ejercicios al final del texto.

Espacios Cocientes

Introducción

Sean \((V,+,\cdot,\mathbb{K})\) un espacio vectorial y \(W\) un subespacio vectorial de \(V\). El espacio \(W\) define una relación de equivalencia en \(V\) de la siguiente manera:

\[\forall x,y\in V, \qquad x\equiv y \quad (\text{mod}\,W) \quad\text{si y solo si}\quad x-y\in W.\]

En efecto, notemos que la relación definida es una relación de equivalencia, para ello el lector puede demostrar que la relación es:

  • reflexiva,

  • simétrica y

  • transitiva.

Así, la relación parte o divide a \(V\) en clases de equivalencia denominadas cosets de \(W\) en \(V\). Por ejemplo, para cualquier \(x\in V\), el coset de \(W\) que contiene a \(x\) es el conjunto

\[[x] = x + W = \{y\in V\,: \, x-y \in W\} = \{z\in V\,:\, z = x +w,\quad w\in W\}.\]

Intuitivamente, podemos entender a este conjunto como la «traslación» o el «desplazamiento» del espacio \(W\) mediante el vector \(x\).

Observación 1. Notemos que dos clases de equivalencia son iguales o disjuntas. Por otra parte, es útil notar que \([x]=[y]\) si y solo si \(x-y\in W\).

Noción Vectorial

Definición 1 (Espacio Vectorial Cociente). Sean \((V,+,\cdot,\mathbb{K})\) un espacio vectorial y \(W\) un subespacio vectorial de \(V\). Se define el espacio cociente \(V/W\) o el cocientado de \(V\) por \(W\) como el conjunto de todas las clases de equivalencia o cosets de \(W\) en \(V\), es decir:

\[V/W = \{[x]\,:\,x\in E \}\]

donde las clases de equivalencia son las definidas anteriormente y equipado con las operaciones \(\oplus,\odot\) definidas por:

\[[x] \oplus [y] = [x \oplus y] = x+y+W \qquad\text{y}\qquad\alpha \odot [x] = [\alpha \cdot x],\]

donde \([x],[y]\in V/W\) y \(\alpha\in\mathbb{K}\).

Una vez definido el espacio cociente requerimos verificar si este se encuentra bien definido, es decir, que las operaciones no dependan del representante de la clase de equivalencia.

Para ello, tenemos que probar que si

\[x \equiv \tilde{x} \quad (\text{mod}\, W) \qquad\text{y}\qquad y \equiv \tilde{y} \quad (\text{mod}\, W),\]

es decir, \(x\sim \tilde{x}\) y \(y\sim \tilde{y}\), entonces

\[x+y \equiv \tilde{x}+\tilde{y} \quad (\text{mod}\, W).\]

Similarmente, se debe probar que con las notaciones anteriores

\[\alpha x \equiv \alpha \tilde{x} \quad (\text{mod}\, W).\]

Observación 2. Note que \([0]\) corresponde al vector cero del nuevo espacio vectorial \(V/W\).

Por otra parte, la dimensión del espacio \(V/W\) la denominamos codimensión de \(W\) respecto a \(V\) y la notamos por \(\text{codim(W)}\). En este sentido, presentamos la siguiente definición utilizando las notaciones anteriores:

Definición 2. Sea \(\{x_1,\ldots,x_n\}\) un conjunto de vectores en \(V\), se dice que estos son linealmente independientes respecto a \(W\) si

\[\sum_{i=1}^n \alpha_i\cdot x_i\in W,\]

implica que \(\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0\).

Proposición 1. La dimensión del espacio cociente \(V/W\) es \(n\) si y solo si existe \(\{x_1,\ldots,x_n\}\) de vectores linealmente independientes respecto a \(W\) tales que para todo \(x\in V\), existe un conjunto de escalares únicos \({\alpha_1,\ldots,\alpha_n}\) y un vector \(y\in W\), tales que

\[x = \sum_{i=1}^n \alpha_i\cdot x_i + y.\]

Más aún, las clases de equivalencia \([x_1],\ldots,[x_n]\) son una base para \(W\).

Noción Topológica

Para esta nueva sección, consideremos el caso en el que dotamos a \(V\) de una estructura topológica, en principio una topología.

Sean \((X,\tau_X)\) un espacio topológico, \(\sim\) una relación de equivalencia en \(X\) y \(X/\sim\) el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de \(X\). Definamos la siguiente aplicación

\[% { \begin{array}{r@{\,}ccl} q\colon & X & \longrightarrow & X/\sim\\ & x & \longmapsto & \displaystyle q(x)=[x], \end{array} }\]

la cual es sobreyectiva y se denomina proyección canónica aunque puede encontrarse con otros nombres en la literatura. Por otro lado, para cualquier \(S\subseteq X/\sim\) se tiene que

\[q^{-1}(S) = \{x\in X\, [x]\in S \} = \bigcup_{s\in S} s.\]

De esta manera, se define el espacio topológico cociente bajo la relación \(\sim\) como el \((X/\sim,\tau_{X/\sim})\) donde \(\tau_{X/\sim}\) corresponde a la topología cociente en la que un conjunto \(U\) es abierto si y solo si

\[{x\in\,:\, [x]\in U}\in \tau.\]

Ahora que hemos introducido algunas nociones básicas sobre el cociente en un espacio topológico, consideremos el caso en el que dotamos a \(V\) de una estructura topológica (una norma) en este caso podemos preguntarnos si es posible definir una norma en un espacio cociente. De esta manera, es apropiado presentar el siguiente resultado

Proposición 2. Sean \(E\) un espacio normado y \(M\) un subespacio cerrado de \(E\). Se equipa a \(E/M\) con la siguiente norma

\[% \left\|{[x]}\right\|_{X/M} = \inf_{m\in M} % \left\|{x-m}\right\|,\]

para todo \([x]\in E/M\).

Demostración (Desigualdad triangular). Sean \([x],[y]\in E/M\). Para todo \(\varepsilon >0\), se tiene que

\[% \left\|{x+m_1}\right\| = % \left\|{[x]}\right\| \leq % \left\|{[x]}\right\| + \varepsilon\]

y

\[% \left\|{y+m_2}\right\| = % \left\|{[y]}\right\| \leq % \left\|{[y]}\right\| + \varepsilon\]

con \(m_1,m_2\in M\). Así,

\[\begin{aligned} % \left\|{[x]+[y]}\right\| &= \inf_{m\in M}% \left\|{x+y+m}\right\| \\ & \leq % \left\|{x+y+m}\right\| && \forall u\in M \\ & = % \left\|{x+y+m_1+m_2}\right\| \\ & \leq % \left\|{x+m_1}\right\| + % \left\|{y+m_2}\right\| \\ & \leq % \left\|{[x]}\right\| + % \left\|{[y]}\right\| + 2\varepsilon.\end{aligned}\]

De donde se sigue lo requerido. 

1. Puesto que en la proposición anterior \(M\) es un subespacio vectorial, tenemos que la norma en el espacio dual también puede enunciarse de las siguientes maneras:

\[% \left\|{[x]}\right\|_{E/M} = \inf_{m\in M} % \left\|{x-m}\right\|_X = \inf_{m\in M}% \left\|{x+m}\right\|_X = \inf_{y\in [x]}% \left\|{[x]}\right\|\]

Proposición 3. Si \(X\) es un espacio completo, entonces \(X/M\) es un espacio completo con la norma definida en la proposición anterior.

Referencias

  • Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra.

  • Eidelman. Y, Milman, V, Tsolomitis, A. Functional Analysis an introduction. Graduate Studies in Mathematics, Volume 66. American Mathematical Society

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