Ejercicio 1. Todo espacio prehilbertiano separable posee una familia ortonormal maximal contable.
Sea \(H\) un espacio prehilbertiano.
P.D. \(\exists
\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) familia ortonormal en \(H\) tal que
\[\overline{\mathop{\mathrm{span}}\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}} = H.\]
Como \(H\) es separable, entonces existe un conjunto numerable denso en \(H\), es decir, existe \(D=\left\{x_1,x_2,x_2,\ldots\right\}\) tal que
\[\overline{D} = H.\]
Se puede considerar el conjunto \(D\) de la forma dada (\(\left\{x_1,x_2,x_2,\ldots\right\}\)) pues al ser \(D\) contable, existe, por definición una biyección con los naturales que nos permite «ordenar» dicho conjunto hasta tener la forma deseada para trabajar el resultado.
Consideremos los siguientes casos:
Si \(D\) es ortonormal, entonces se ha probado directamente el resultado pues como \(D \subseteq \mathop{\mathrm{span}}D \subseteq H\), al clausurar
\[H = \overline{H} \subseteq \overline{\mathop{\mathrm{span}}D} \subseteq H \quad\Longrightarrow\quad\overline{\mathop{\mathrm{span}}D} = H.\]
Así, la familia contable \(D\) es ortonormal y al ser total, se sigue que es maximal, con lo que se tiene lo requerido.
Si \(D\) no es ortonormal, entonces \(D\) puede que, incluso, \(D\) no sea un conjunto linealmente independiente. Así, vamos a construir una familia linealmente independiente, para ello, definamos el siguiente conjunto
\[S = \{i\in\mathbb{N}\,:\, x_i\neq 0 \text{ con } x_i\in D\}.\]
Por el principio del buen ordenamiento (Todo subconjunto de los naturales no vacío tiene mínimo), \(S\) posee mínimo y lo notamos \(i_1 = \min(S)\). Así, definamos que \(z_1 = x_{i_1}\), luego como \(z_1\) es el «primer» elemento linealmente independiente (los anteriores son combinación lineal de \(z_1\)), entonces se tiene que general el mismo espacio; es decir,
\[\mathop{\mathrm{span}}\{z_1\} = \mathop{\mathrm{span}}\{x_1,x_2,\ldots,x_{i1}\}\]
Realizamos el primer paso en la construcción del conjunto, ahora buscaremos más vectores linealmente independientes.
Ahora, definamos
\[T_1 = \{i\in\mathbb{N}\, : \, x_i \text{ y } z_1 \text{ son linealmente independientes} \text{ con }x_i\in D\}\subseteq \mathbb{N}\]
El principio del buen ordenamiento requiere probar que el conjunto es no vacío, así que procedemos con esto antes de continuar la demostración.
Notemos que \(T_1\) es un conjunto no vacío. En efecto, si suponemos que no lo es, entonces se tiene que
\[(\forall i \in\mathbb{N}) (\exists \alpha_i \neq 0) \text{ tal que } (z_1 = \alpha_i x_i),\]
es decir, todos los elementos \(x_i\) son escalamientos de \(z_1\). Ahora, como lo anterior es cierto para todo \(i\in\mathbb{N}\), más aún se puede tener que
\[z_1 = \alpha_j x_j \quad \forall j\in\mathbb{N}.\]
Así, se concluye que
\[(\forall i,j\in\mathbb{N})\quad \alpha_i x_i = \alpha_j x_j, \quad\Longrightarrow\quad x_i = \frac{\alpha_j}{\alpha_i} x_j \quad \alpha_i \neq 0.\]
Lo que es equivalente a que a decir que un único vector genera todo el conjunto \(D\), así se tiene lo siguiente
\[\mathop{\mathrm{span}}\{z_1\} = \mathop{\mathrm{span}}D \quad\Longrightarrow\quad\overline{\mathop{\mathrm{span}}\{z_1\}} = \overline{\mathop{\mathrm{span}}D} = H.\]
Así, hemos concluido que
\[\overline{\mathop{\mathrm{span}}\{z_1\}} = H,\]
de donde, como el conjunto es finito, entonces es igual a su clausura y por lo tanto
\[H = \mathop{\mathrm{span}}\{z_1\}.\]
Lo que implica que \(H\) es un espacio de dimensión finita y más precisamente, de dimensión \(1\). Pero esto no es posible pues supusimos que \(H\) es un espacio de dimensión infinita. Por lo tanto, se ha obtenido una contradicción, de donde, se sigue que el conjunto \(T_1\) es no vacío. Ahora, como \(T_1\) es un subconjunto de los naturales no vacío, por el principio del buen ordenamiento, \(T_1\) tiene mínimo, es decir, existe un \(i_2\in\mathbb{N}\), tal que
\[i_2 = \min T_1.\]
De esta manera, podemos definir \(z_2 = x_{i_2}\). Así, \(z_1\) y \(z_2\) son vectores linealmente independientes, dentro del grupo de vectores \(\{x_1,\ldots,x_{i_1},\ldots,x_{i_2}\}\), y así
\[\mathop{\mathrm{span}}\{z_1,z_2\} = \mathop{\mathrm{span}}\{x_1,\ldots,x_{i_1},\ldots,x_{i_2}\}\]
Análogamente, podemos definir el conjunto
\[T_2 = \{i\in\mathbb{N}\, : \, x_i, z_1 \text{ y } z_2\text{ son linealmente independientes} \text{ con }x_i\in D\}\subseteq \mathbb{N}\]
Notemos que análogamente se puede probar que el conjunto es no vacío y por lo tanto, por el principio del buen ordenamiento podemos encontrar el mínimo de \(T_2\) el cual lo notaremos \(i_3= \min T_3\). Así, tenemos que tomando \(z_3=z_{i_3}\)
\[\mathop{\mathrm{span}}\{z_1,z_2,z_3\} = \mathop{\mathrm{span}}\{x_1,\ldots,x_{i_1},\ldots,x_{i_2},\ldots,x_{i_3}\}.\]
Inductivamente, podemos encontrar, para cada \(n\in\mathbb{N}\), un conjunto \(\{z_1,\ldots,z_n\}\), construido de manera análoga a lo realizado en pasos anteriores tal que
\[\mathop{\mathrm{span}}\{z_1,\ldots,z_n\} = \mathop{\mathrm{span}}\{x_1,\ldots,x_{i_1},\ldots,x_{i_2},\ldots,x_{i_3}\}\]
Es decir, podemos probar que es posible «generar» un conjunto linealmente independiente de cardinalidad infinita numerable o contable a partir de la familia \(D\).
Luego, aplicando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, obtenemos una familia ortonormal \({e_1,\ldots,e_n}\) tal que
\[\mathop{\mathrm{span}}\{e_1,\ldots,e_n\} = \mathop{\mathrm{span}}\{z_1,\ldots,z_n\}.\]
Luego,
\[\mathop{\mathrm{span}}\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}} = \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\mathop{\mathrm{span}}\{e_1,\ldots,e_n\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\mathop{\mathrm{span}}\{z_1,\ldots,z_n\}= \mathop{\mathrm{span}}\left\{z_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\]
Hasta este punto encontramos una familia ortonormal contable, faltaría probar que es maximal. Como sabemos que totalidad implica maximalidad en cualquier espacio con producto interno, entonces basta probar eso.
Ahora, notemos que
\[\mathop{\mathrm{span}}\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}} = \mathop{\mathrm{span}}\left\{z_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}} = \mathop{\mathrm{span}}\{x_1,x_2,\ldots\} = \mathop{\mathrm{span}}D.\]
Así, se tiene que
\[\overline{\mathop{\mathrm{span}}\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}} = \overline{\mathop{\mathrm{span}}D} = H,\]
es decir, hemos probado que
\[\overline{\mathop{\mathrm{span}}\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}} = H.\]
Así, la familia \(\left\{e_n\right\}_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) es total y por lo tanto, maximal con lo que se sigue el resultado deseado.
Ejercicio 2. Todo conjunto ortonormal es linealmente independiente.
Sea \(\{a_i\}_{i=1}^n\) con \(n\in\mathbb{N}\) una familia de vectores ortonormal. Debemos probar que es linealmente independiente, es decir, si
\[\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \cdots + \alpha_n a_n = 0,\]
entonces \(\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0\).
Así, notemos que
\[\begin{aligned} % \left\langle {0,\, a_1} \right\rangle & = % \left\langle {\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \cdots + \alpha_n a_n,\, a_1} \right\rangle & \\ & = \alpha_1 % \left\langle {a_1,\, a_1} \right\rangle + \alpha_2% \left\langle {a_2,\, a_1} \right\rangle + \cdots + \alpha_n% \left\langle {a_n,\, a_1} \right\rangle & \\ & = \alpha.\end{aligned}\]
Y, dado que
\[% \left\langle {0,\, a_1} \right\rangle = 0,\]
entonces se concluye que \(\alpha_1=0\). Análogamente, se prueba que
\[\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0.\]
De esta manera, se demuestra que la familia \(\left\{a_i\right\}_{i=1}^n\) con \(n\in\mathbb{N}\) es linealmente independiente.