Ejercicio 1. Considere la función \[% { \begin{array}{r@{\,}ccl} T\colon & \mathbb{R}^{2\times 2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{3}\\ & \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} & \longmapsto & \displaystyle(a+b ,\ c+d ,\ a+2 ) \end{array} } .\] Determine si \(T\) […]
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Proceso de Gram-Schimdt en matrices de 2 por 2
Ejercicio 1. En \(\mathbb{R}^{2\times 2}\), a partir de \(S\), obtén un conjunto ortogonal, donde \[S = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2 […]
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Determinar una base de un subespacio
Ejercicio 1. En \(\mathbb{R}^3\), considere el subespacio \[F = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y-3z = 0 \land x-y = 0 \right\}.\] Determine una base para \(F\). Solución. Para determinar una base para \(F\), debemos considerar las condiciones para exponerlas como un […]
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Cálculo de Matriz de cambio de base
Ejercicio 1. En \(\mathbb{R}^{2\times 2}\), consideremos las siguientes bases ordenadas \[B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & […]
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Cálculo de vector de coordenadas
Ejercicio 1. En \(\mathbb{R}^2\), consideremos la siguiente base ordenada \[T = \big\{(1,0),\ (-1,1)\big\}.\] Determine \(\big[(1,1)\big]_T\). Solución. Para determinar \(\big[(1,1)\big]_T\), debemos hallar \(\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\) tal que \[\begin{aligned} (1,1) & = \alpha_1 (1,0)+\alpha_2(-1,1)\\ & = (\alpha_1-\alpha_2,\ \alpha_2), \end{aligned}\] es decir, debemos determinar \(\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\) […]
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Teorema de Fenchel-Rockafellar
A continuación puedes encontrar apuntes sobre el Teorema de Fenchel-Rockafellar. Esperamos te sean útiles y nos ayudes reportando cualquier inconsistencia en los mismos.
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Teorema de Diferenciación de Lebesgue
A continuación puedes encontrar apuntes sobre el Teorema de Diferenciación de Lebesgue. Esperamos te sean útiles y nos ayudes reportando cualquier inconsistencia en los mismos.
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Criterio para separabilidad de un Espacio de Banach
Proposición 1. Sean \(F\subseteq E\) con \(E\) y \(F\) espacios vectoriales. Si para todo \(f\in E'\) tal que \(f\) se anula en \(F\) se tiene que \(f\) se anula en \(E\), entonces \(F\) es denso en \(E\), es decir, \[\overline{F} […]
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Propiedades algebraicas de la diferenciación
Ejercicio 1 (Linealidad de la derivada). Sean \(E,F\) espacios normados, \(U\subseteq E\) abierto y \(f,g\colon U \rightarrow F\) funciones dierenciables en \(u_0\in U\). Entonces, \(\alpha f+g\) es diferenciable en \(u_0\) para todo \(\alpha\in\mathbb{K}\) y \[D(\alpha f +g)(u_0) = \alpha Df(u_0) […]
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Lema de Farkas
Teorema 1 (Lema de Farkas). Sean \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) y \(b\in\mathbb{R}^m\). Entonces, exactamente uno de los siguientes conjuntos debe ser vacío: \(A:=\left\{x\in\mathbb{R}^n\,:\, Ax=b,\, x\geq 0\right\}\); \(B:= \left\{y\in\mathbb{R}^m\,:\,A^Ty\geq 0,\, b^Ty<0\right\}\). Demostración. Sean \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) y \(b\in\mathbb{R}^m\), cualesquiera. Primera etapa En una primera […]
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