Caracterización de convergencia en espacios producto

¿Cómo caracterizar la convergencia en el producto de espacios normados? En este ejercicio puedes encontrar una respuesta.

Sean \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) y \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sucesiones de los espacios normados \(E\) y \(F\), respectivamente. Pruebe que $$ \lVert (u_n , v_n) – (a,b)\rVert_p \xrightarrow{} 0 $$ si y solo si $$ \lVert u_n – a\rVert_E \xrightarrow{} 0 \; \text{ y } \; \lVert v_n-b\rVert_F \xrightarrow{} 0. $$