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Demostración de que un operador cerrado sobre un compacto es acotado

Ejercicio 1. Sean \(E\) y \(F\) espacios normados y \(T\colon E \rightarrow F\) un operador lineal cerrado. Si \(F\) es compacto, demuestre que \(T\) es acotado.

Demostración. Primero, notemos que demostrar que \(T\) es acotado es equivalente a demostrar que \(T\) es continua en \(0\). Con esto en mente, por reducción al absurdo, supongamos que \(T\) no es continua en \(0\), por lo tanto, existe una sucesión \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) en \(E\) tal que \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) converge a \(0\) pero \(\left(Tx_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) no converge a \(T(0)=0\).

Como \(\left(Tx_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) no converge a \(0\), existe una subsucesión \(\left(Tx_{n_k}\right)_{k\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) tal que ninguna subsucesión de \(\left(Tx_{n_k}\right)_{k\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) converge a \(0\). Por otro lado, como \(\left(Tx_{n_k}\right)_{k\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) es una sucesión en \(F\) y \(F\) es compacto, entonces posee una subsucesión convergente, es decir, existen \(\left(Tx_{n_{k_m}}\right)_{m\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) y \(y\in F\) tal que \[Tx_{n_{k_m}} \to y\] cuando \(m\to+\infty\). Con esto, tenemos que \[\left( x_{n_{k_m}}\ ,\ Tx_{n_{k_m}}\right) \to (0,y)\] cuando \(m\to+\infty\). Además, como \(T\) es cerrado (ver definición al final), se tiene que \(y=T(0)\), y como \(T\) es lineal, \(y=0\), de donde, se concluye que \(\left(Tx_{n_{k_m}}\right)_{m\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) converge a \(0\), lo cual es contradictorio.

Así, queda demostrado que \(T\) es continuo en \(0\) y, por lo tanto, acotado.

Definición 1. Sean \(E\) y \(F\) espacios normados y \(T\colon E \rightarrow F\) un operador lineal. Decimos que \(T\) es un cerrado si \(T\), visto como subconjunto de \(E\times F\) es cerrado en \(E\times F\).

Completación de una base de Hamel

Ejercicio 1. Sea \(E\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\), \(W\) un subespacio vectorial no nulo de \(E\) y \(B_W\) una base de Hamel para \(W\). Muestre que \(B_W\) puede ser completado a una base de Hamel para \(E\).

Demostración. Tomemos \[\mathcal{B} = \{B\subseteq E:B_W\subseteq B\text{ y $B$ es un conjunto linealmente independeinte}\}.\] Este conjunto es no vacío pues \(B_W \in \mathcal{B}\); además, es parcialmente ordenado por el orden \(\subseteq\). Vamos a probar que cumple la hipótesis del Lema de Zorn.

Sea \(\mathcal{C}\subseteq \mathcal{B}\) una cadena. Tomemos \[M = \bigcup_{C\in\mathcal{C}} C.\] Se tiene que \(M\) es un conjunto linealmente independiente, pues sean \(x_1,\ldots,x_n\in M\) y \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathbb{K}\) tales que \[\alpha_1 x_1 + \cdots +\alpha_n x_n = 0.\] Tenemos que, para cada \(i\in\{1,\ldots,n\}\), existe \(C_i\in \mathcal{C}\) tales que \(x_i\in C_i\). Como \(\mathcal{C}\) es una cadena, podemos tomar \(n_0\in\{1,\ldots,n\}\) tal que \[C_{n_0} = \max\{C_i:i\in\{1,\ldots,n\}\},\] donde este máximo es tomado bajo la relación de orden \(\subseteq\), por lo tanto, para cada \(i\in\{1,\cdots,n\}\) \[x_i\in C_i \subseteq C_{n_0},\] Como \(C_{n_0}\) es un conjunto linealmente independiente, podemos concluir que \(\alpha_i=0\) para todo \(i\in\{1,\cdots,n\}\). Por otro lado, \(B_W\subset M\); por lo tanto, \(M\in\mathcal{B}\). Finalmente, por la forma en la que está definido \(M\), se tiene que es una cota superior de \(\mathcal{C}\).

Con esto, se puede utilizar el Lema de Zorn, es decir, existe \(B\in\mathcal{B}\) tal que \(B\) es un elemento maximal de \(\mathcal{B}\). Por lo tanto, \(B\) es linealmente independiente y \(B_W\subseteq B\).

Ahora, procederemos a demostrar que \(B\) genera a \(E\). Por reducción al absurdo, supongamos que existe \(x\in E\) tal que \(x\) no pertenece al conjunto generado por \(B\). Tomemos \[\hat{B} = B \cup \{x\},\] se tiene que \(B_W\subseteq \hat{B}\), además, es un conjunto linealmente independiente pues sean \(x_1,\ldots,x_n\in \hat{B}\) y \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathbb{K}\) tales que \[\alpha_1 x_1 + \cdots +\alpha_n x_n = 0.\] Si \(x\in \{x_1,\ldots,x_n\}\), tenemos que \(x\) se lo puede expresar como combinación lineal de elementos de \(B\), lo cual es contradictorio. Por otro lado, si \(x\not\in \{x_1,\ldots,x_n\}\), se tendría que \(x_1,\ldots,x_n\in B\), el cual es un conjunto linealmente independiente, de donde se concluiría que \(\alpha_i=0\) para todo \(i\in\{1,\cdots,n\}\), por lo tanto \(\hat{B}\in\mathcal{B}\) y \(B\subseteq\hat{B}\), lo cual también es contradictorio pues \(B\) es maximal.

Así, concluimos que \(B\) es un base de Hamel la cual completa a \(B_W\)

Demostración de que un conjunto es convexo

Ejercicio 1. Demostrar que el conjunto \[A = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x>0\ \land\ y>\frac{1}{x} \right\}\] es convexo.

Primero, consideremos la función \[% { \begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f\ \colon & \left]0,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle\frac{1}{x}\ ; \end{array} }\] notemos que, para todo \(x\in \left]0,+\infty\right[\), \[f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0,\] por lo tanto, \(f\) es una función convexa, de donde, para todo \(x_1,x_2\in \left]0,+\infty\right[\) y \(\alpha\in[0,1]\), tenemos \[f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2),\] es decir \[\frac{1}{\alpha x_1+(1-\alpha)x_2}\leq \alpha \frac{1}{x_1}+(1-\alpha)\frac{1}{x_2}.\]

Ahora, tomemos \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A\) y \(\alpha\in[0,1]\), vamos a demostrar que \[\alpha (x_1,y_1)+(1-\alpha)(x_2,y_2)\in A.\] Como \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A\), entonces \[x_1>0\ \land\ y_1>\frac{1}{x_1} \qquad\text{y}\qquad x_2>0\ \land\ y_2>\frac{1}{x_2}\ ;\] por lo tanto, \[\alpha x_1+(1-\alpha)x_2 > 0\] y utilizando el hecho de que \(f\) es convexa, tenemos \[\alpha y_1+(1-\alpha)y_2 > \alpha \frac{1}{x_1}+(1-\alpha)\frac{1}{x_2} \geq \frac{1}{\alpha x_1+(1-\alpha)x_2}.\] Así, se tiene que \[\big(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2\ ,\ \alpha y_1+(1-\alpha)y_2\big)\in A,\] con lo cual, concluimos que \(\alpha (x_1,y_1)+(1-\alpha)(x_2,y_2)\in A\), por ende, \(A\) es convexo.

¿Cuántos términos tiene el desarrollo de la potencia n de k términos?

¿Cuántos términos tiene el desarrollo de la potencia \(n\) de \(k\) términos? Es decir, al desarrollar \[(a_1+a_2+\cdots+a_k)^n,\] ¿cuántos términos aparecen?

Para responder esta pregunta es preciso expresar de forma exacta la pregunta.

Ejercicio 1. Dados \(n,k\in\mathbb{Z}^+\) y \(a_0,a_1,\ldots,a_m\) variables distintas, determinar el número de términos que tiene el desarrollo de \[\left(\sum_{m=0}^k a_m\right)^n.\]

Solución. Para que el análisis sea más sencillo, vamos a nombrar el número de términos de la expansión en función del número de términos y de la potencia: sea \(T(k,n)\) el número de términos del desarrollo del enunciado. De la definición de \(T\), es claro que \(T(0,n)=1\) y, por el teorema del binomio, \(T(1,n)=n+1\). Ahora bien, la idea, es utilizar esta última fórmula para ir construyendo la formula para \(k=2,\ 3,\ \ldots\)

  • Si \(k=2\), notemos que \[\begin{aligned} \left(\sum_{m=0}^k a_m\right)^n &=\left(a_0+a_1+a_2\right)^n \label{ter2}\\ &=\left[a_0+(a_1+a_2)\right]^n \nonumber\\ &=\sum_{m=0}^n\binom{n}{m} a_0^{n-m}(a_1+a_2)^m\nonumber\\ &=\sum_{m=0}^n\binom{n}{m} a_0^{n-m}\left[\sum_{l=0}^m\binom{m}{l} a_1^{m-l}a_2^l\right],\nonumber\end{aligned}\tag{1}\] en donde se han usado dos veces el teorema del Binomio de Newton. Notemos que la sumatoria interna tiene \(m+1\) términos y que además las potencia de \(a_0\) hace que no existan dos términos semejantes en el desarrollo de la primera sumatoria. Por este razonamiento, se tiene que la cantidad de términos de (1) es \[\sum_{m=0}^n (m+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=T(2,n).\] Por cálculo directo, se tiene que \(T(2,2)=6\) y \(T(2,3)=10\); lo que coincide con \[\left(a_0+a_1+a_2\right)^2= 2a_0a_1+2a_0a_2+2a_1a_2+a_0^2+a_1^2+a_2^2\] que tiene \(6\) términos; y \[\begin{aligned} \left(a_0+a_1+a_2\right)^3&= a_0^3 + 3 a_1 a_0^2 + 3 a_2 a_0^2 + 3 a_1^2 a_0 + 3 a_2^2 a_0 \\ &\phantom{=}+ 6 a_1 a_2 a_0 + a_1^3 + a_2^3 + 3 a_1 a_2^2 + 3 a_1^2 a_2\end{aligned}\] que tiene \(10\) términos.

  • Si \(k=3\), notemos que \[\begin{aligned} \left(\sum_{m=0}^k a_m\right)^n &=\left(a_0+a_1+a_2+a_3\right)^n\\ &=\left[a_0+(a_1+a_2+a_3)\right]^n\\ &=\sum_{m=0}^n\binom{n}{m} a_0^{n-m}(a_1+a_2+a_3)^m.\end{aligned}\] Notemos que la potencia interna, por el caso anterior, tiene \(\dfrac{(m+1)(m+2)}{2}\) términos y que además, como en el caso anterior, las potencia de \(a_0\) hace que no existan dos términos semejantes en el desarrollo de la sumatoria. Por este razonamiento, se tiene que la cantidad de términos de esta expresión es \[\sum_{m=0}^n \dfrac{(m+1)(m+2)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}=T(3,n),\] en donde se utilizó fórmulas de la sumatoria. Por cálculo directo, se tiene que \(T(3,3)=20\), lo que coincide con \[\newcommand{\terminos}[2]{\dfrac{(#1+#2)!}{#1!\ #2!}}\begin{aligned} \left(a_0+a_1+a_2+a_3\right)^3&= a_0^3 + 3 a_1 a_0^2 + 3 a_2 a_0^2 + 3 a_3 a_0^2 + 3 a_1^2 a_0\\ &\phantom{=}+ 3 a_2^2 a_0 + 3 a_3^2 a_0 + 6 a_1 a_2 a_0 + 6 a_1 a_3 a_0 + 6 a_2 a_3 a_0\\ &\phantom{=}+ a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + 3 a_1 a_2^2 + 3 a_1 a_3^2 \\ &\phantom{=}+ 3 a_2 a_3^2 + 3 a_1^2 a_2 + 3 a_1^2 a_3 + 3 a_2^2 a_3 + 6 a_1 a_2 a_3\end{aligned}\] que tiene 20 términos.

Como se ve en el análisis de los casos para \(k=2\) y \(k=3\), es razonable pensar que \[\begin{aligned} T(4,n) &=\sum_{m=0}^n \dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{6}\\ &=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{24}. \end{aligned}\] Se puede comprobar que \[\left(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4\right)^3\] tiene \(T(4,3)=35\) términos.

Claramente esto no nos permite deducir que esta fórmula se cumple en general, afortunadamente disponemos de la herramienta ideal para estos casos:

Inducción Matemática

Para utilizar Inducción Matemática, primero debemos presentar una fórmula explícita para \(T(k,n)\) dependiente solo de \(k\) y de \(n\). Por el análisis anterior, se tiene que para \(n\in\mathbb{Z}^+\),

\(k\) Términos
1 \(n+1\)
2 \(\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\)
3 \(\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{2 \cdot 3}\)
4 \(\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2 \cdot 3 \cdot 4}\)

Se puede observar que el denominador sigue la secuencia del factorial y, además, que los productos en el numerador siguen la forma \((n+1)(n+2)\cdots(n+k)\). Así, se postula que \[\label{eq:ter} T(k,n) =\dfrac{(n+1)\cdots(n+k)}{k!} =\dfrac{(n+k)!}{n!\ k!}\tag{2}\] para todo \(n,k\in\mathbb{Z}^+\).

Para demostrar que esta fórmula se cumple, notemos que, por el análisis anterior, dado \(n,k\in\mathbb{Z}^+\), se tiene que \[T(k,n) =\sum_{m=0}^n T(k-1,m),\] utilizando el postulado (2), se sigue que lo que debemos probar es \[\sum_{m=0}^n \terminos{m}{(k-1)}=\terminos{n}{k}\] para todo \(n,k\in\mathbb{Z}^+\).

Fijado \(k\in\mathbb{Z}^+\), se va a utilizar inducción sobre \(n\in\mathbb{Z}^+\). La base inductiva se cumple por las comprobaciones anteriores. Ahora bien, suponiendo que se cumple la fórmula para \(n\), vamos a demostrar que \[\sum_{m=0}^{n+1} \terminos{m}{(k-1)}=\terminos{(n+1)}{k}.\] Dado que \[\begin{aligned} \sum_{m=0}^{n+1} \terminos{m}{(k-1)} &=\sum_{m=0}^{n} \terminos{m}{(k-1)}+\terminos{(n+1)}{(k-1)}\\ &=\terminos{n}{k}+\terminos{(n+1)}{(k-1)}\\ &=\dfrac{(n+k)!}{n! (k-1)!}\left(\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{n+1}\right)\\ &=\terminos{(n+1)}{k}\end{aligned}\] lo que demuestra lo que queríamos probar.

Con esto está demostrado que, para todo \(n,k\in\mathbb{Z}^+\) la cantidad de términos del desarrollo de \[\left(\sum_{m=0}^k a_m\right)^n\] es \[T(k,n) =\dfrac{(n+k)!}{n!\ k!}.\] 

¡Nos mudamos!

Como te puedes dar cuenta, nos estamos mudando a un nuevo sitio, pero esto lleva tiempo y trabajo. Durante este mes estaremos actualizando la información de nuestro repositorio para que se encuentre nuevamente disponible. Esperamos que esto sea lo más pronto posible y mientras completamos esto puedes seguir disfrutando de los contenidos ya disponibles. Sin embargo, debido a los trabajos es posible que experimentes cierta intermitencia o cortes inesperados.

¿Cómo realizar operaciones por filas en Wolfram Mathematica?

Te presentamos cómo realizar operaciones elementales por filas con la ayuda de Wolfram Mathematica.

Sean \(m,n\in\mathbb{N}^*\) , \(A\in\mathbb{R}^{m \times n}\) y \(i,j\in\{1,\ldots, m\}\). Una operación elemental por filas sobre \(A\) es una de las siguientes:

Intercambio de filas: intercambiar la fila \(i\) por la fila \(j\), denotado por $$F_i \leftrightarrow F_j.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ { i , j } ]] = A[[ { j , i } ]]

Multiplicar una fila por un escalar: dado \(a\neq 0\), multiplicar la fila \(i\) por \(a\), denotado por $$a F_i \rightarrow F_i.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ i ]] = a*A[[ i ]]

Sumar un múltiplo de una fila con otra: dado \(a\in \mathbb{R}\), multiplicar la fila \(i\) por \(a\) y sumarlo a la fila \(j\), denotado por $$a F_i + F_j\rightarrow F_j.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ j ]] = a*A[[ i ]] + A[[ j ]]

Aquí puedes ver un video tutorial de cómo realizar estas operaciones:

Finalmente, te adjuntamos los archivos utilizados en el tutorial.

Error de WolframAlpha al calcular un límite

Ejercicio. Demuestre que el siguiente límite no existe \[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3}. \]

Utilizando WolframAlpha, nos indica que este límite es 0:

Demostración. De manera simple se puede ver que los límites iterados son igual a \(0\), por lo tanto, no son de ayuda para demostrar que este límite no existe.

El siguiente paso es tomar límites a través de ciertas trayectorias que estén dentro del dominio de la función unido el punto \((0,0)\). Notemos que el dominio de la función es un subconjunto de \[\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y \neq -x^3\},\] de esta forma, una trayectoria interesante puede ser una “cercana” a la trayectoria de ecuación \(y=-x^3\) (no puede ser la trayectoria de ecuación \(y=-x^3\) pues esta no está dentro del dominio de la función unión \((0,0)\)).

Una idea para tomar una trayectoria “cercana” sería tomar una trayectoria de ecuación \(y=-x^3 + f(x)\), donde \(f\) es una función continua (para que sea una trayectoria) tal que \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (para que la trayectoria esté dentro del dominio de la función) y que \(f(0)=0\) (para que la trayectoria pase por el punto \((0,0)\)).

Dado que nuestra función es racional, puede ser una buena idea tomar, para \(f\), una función polinomial. Una función de este tipo puede ser la definida por \(f(x)=x^n\) para \(x\in\mathbb{R}\), con \(n\geq0\), es decir, consideremos la trayectoria de ecuación \(y=-x^3+x^n\), con esto \[\dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3} =\dfrac{8 x^2 (x^n-x^3)^3 }{x^9+(x^n-x^3)^3}.\] Para obtener un límite diferente de \(0\), busquemos un valor de \(n\) tal que, tanto el numerador como el denominador (los cuales son polinomios) tengan un término independiente. Notemos que \[\begin{aligned} \dfrac{8 x^2 (x^n-x^3)^3 }{x^9+(x^n-x^3)^3} &=\dfrac{8 x^{11} (x^{n-3}-1)^3 }{x^9[ 1 + (x^{n-3}-1)^3]}\\ &=\dfrac{8 x^{2} (x^{n-3}-1)^3 }{x^{3n-9}-3 x^{2n-6} +3 x^{n-3}}\\ &=\dfrac{8 (x^{n-3}-1)^3 }{x^{n-5}[x^{2n-6}-3 x^{n-3} +3 ]};\end{aligned}\] de donde, podemos tomar \(n = 5\). Así, tomemos la trayectoria de ecuación \(y = -x^3 + x^5\), es decir, tomemos \[\funcion{\alpha}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}^2}{t}{(t,-t^3+t^5).}\] Así, el límite, a través de \(\alpha\), en \((0,0)\) es \[\lim_{t\to 0} \dfrac{8 t^2 (t^5-t^3)^3}{t^9 + (t^5-t^3)^3} =\lim_{t\to 0} \dfrac{8 (t^2-1)^3}{t^4 – 3 t^2 + 3} =-\dfrac{8}{3}.\] Como existe un camino en el que el límite es diferente de \(0\), este límite no existe.

Demostración en una linea de la infinitud de los números primos

En el artículo: A One-Line Proof of the Infinitude of Primes se da la siguiente demostración de la infinitud del conjunto de los números primos:

Si el conjunto de números primos \(\mathbb{P}\) es finito, entonces $$0<\prod_{p\in\mathbb P} \mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{p}\right)=\prod_{p\in\mathbb P} \mathrm{sen} \left(\vcenter{\hbox{$\displaystyle\frac{\displaystyle\pi\Big(1+2\prod_{q\in\mathbb P} q\Big) }{p}$}}\right)=0$$

Aquí, te dejamos los detalles de la demostración:

Asignar tareas y exámenes personalizadas en moodle

TestAssigner es un programa diseñado para ayudar a asignar tareas o exámenes personalizados en la herramienta Moodle. Escrito en C# y con licencia GNU GPLv3, TestAssigner permite tomar, al menos, dos exámenes y personalizar los exámenes para cada estudiante dependiendo de una entrada de datos por CSV generado por la plataforma virtual. El resultado es una hoja de excel con el resumen de la asignación y un archivo comprimido listo para subir al Moodle, de forma que cada estudiante no sabe qué tipo de examen le toca a cada alumno.

¿Cómo usar TestAssigner?

Un video tutorial del uso del programa se puede ver aquí:

  1. Descargar la hoja de calificaciones de la plataforma virtual
  2. Asignar un nombre al examen
  3. Seleccionar el archivo CVS (hoja de calificaciones)
  4. Elegir un tipo de examen y la respectiva carpeta donde se encontrarán
  5. Escoger un tipo de asignación para el examen
    1. Si el tipo de asignación fue personalizada, proporcionar también un archivo Excel con una asignación especial para cada estudiante.
  6. Generar la asignación
  7. En Moodle, se sube el archivo comprimido con los exámenes

Tipos de archivos soportados

  • PDF
  • MS Word (.docx, .doc)
  • MS Excel (.xlsx, .xls)
  • MS PowerPoint (.pptx, .ppt)
  • Imágenes (.jpg, .jpeg, .png)

Tipos de asignación soportados

  • Aleatorio: Asigna aleatoriamente un examen a los estudiantes, balanceando la carga por examen
  • Alternado: Siguiendo el orden alfabético de la lista de estudiantes, se distribuirán alternadamente
  • Por grupos: Se asignará cierto número de estudiantes formando grupos dependiendo del número de exámenes, siguiendo el orden alfabético.
  • Personalizado: Permite generar una asignación, tomando un archivo Excel.

Créditos

Desarrollador

Víctor Silverio
Estudiante de Ingeniería en Sistemas y Computación en la
Pontificia Universidad Católica del Ecuador
[email protected] [email protected]

Promotor

Mat. Andrés Merino
Proyecto Alephsub0,
Docente de Matemática en la
Pontificia Universidad Católica del Ecuador
[email protected]

Descarga

Hemos actualizado el programa y ahora acepta otro tipo de archivos a más de pdf.