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¡Nos mudamos!

Como te puedes dar cuenta, nos estamos mudando a un nuevo sitio, pero esto lleva tiempo y trabajo. Durante este mes estaremos actualizando la información de nuestro repositorio para que se encuentre nuevamente disponible. Esperamos que esto sea lo más pronto posible y mientras completamos esto puedes seguir disfrutando de los contenidos ya disponibles. Sin embargo, debido a los trabajos es posible que experimentes cierta intermitencia o cortes inesperados.

¿Cómo realizar operaciones por filas en Wolfram Mathematica?

Te presentamos cómo realizar operaciones elementales por filas con la ayuda de Wolfram Mathematica.

Sean \(m,n\in\mathbb{N}^*\) , \(A\in\mathbb{R}^{m \times n}\) y \(i,j\in\{1,\ldots, m\}\). Una operación elemental por filas sobre \(A\) es una de las siguientes:

Intercambio de filas: intercambiar la fila \(i\) por la fila \(j\), denotado por $$F_i \leftrightarrow F_j.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ { i , j } ]] = A[[ { j , i } ]]

Multiplicar una fila por un escalar: dado \(a\neq 0\), multiplicar la fila \(i\) por \(a\), denotado por $$a F_i \rightarrow F_i.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ i ]] = a*A[[ i ]]

Sumar un múltiplo de una fila con otra: dado \(a\in \mathbb{R}\), multiplicar la fila \(i\) por \(a\) y sumarlo a la fila \(j\), denotado por $$a F_i + F_j\rightarrow F_j.$$

El código de Wolfram Mathematica para realizar esta operación a una matriz \(A\) es:

A[[ j ]] = a*A[[ i ]] + A[[ j ]]

Aquí puedes ver un video tutorial de cómo realizar estas operaciones:

Finalmente, te adjuntamos los archivos utilizados en el tutorial.

¿La derivada es un operador acotado?

¿Sabías que la derivada no es un operador acotado? Aquí puedes encontrar la demostración.

Pruebe que el operador $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} T \colon & \mathcal{C}^1[a,b] & \longrightarrow &\mathcal{C}[a,b]\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x’ \end{array} $$ es lineal y no acotado (considerando la norma \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) en el espacio de salida y de llegada).

Cálculo de normas de funcionales 4

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Para cada \(n\in\mathbb{N}\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_n \colon & \mathcal{C}[0,1] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \int_{-1}^1 t^n x(t) \, dt. \end{array}$$ Halle \(\lVert f_n\rVert_\infty\) para todo \(n\in\mathbb{N}\).

Cálculo de normas de funcionales 3

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Sea \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\), consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x(a)-x\left(\tfrac{a+b}{2} \right)+x(b). \end{array}$$ Pruebe que \(f\in \left(\mathcal{C}[a,b]\right)^* \) y halle \(\lVert f\rVert\).

Cálculo de normas de funcionales 2

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Sea \(\rho\in\mathcal{C}[a,b]\) tal que \(\rho(t)>0\), para todo \(t\in [a,b]\). Consideremos el funcional: $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f \colon & \mathcal{C}[a,b] & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \int_{a}^b \rho(t)x(t) \, dt. \end{array}$$ Pruebe que \(f\) es lineal, acotado en \((\mathcal{C}[a,b],\lVert\cdot\rVert_\infty)\) y halle \(\lVert f\rVert\).

Cálculo de normas de funcionales

Compartimos este ejercicios de cálculo de normas de operadores lineales que puede serte de utilidad.

Consideremos el espacio \((\mathbb{K}^n,\lVert\cdot\rVert_2)\), con \(n\geq 2\), y \(a\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}\), para cada \(x=(x_1,\ldots,x_N)\in\mathbb{K}^n\) consideremos el funcional $$\begin{array}{[email protected]{\,}ccl} f_a \colon & \mathbb{K} & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto &\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k x_k \end{array}$$ Pruebe que \(f\) es lineal, acotado y que \(\lVert f\rVert=\lVert a\rVert _2 \).

Operadores acotados y no acotados 2

¿Problemas con demostraciones de operadores acotados y no acotados? Aquí puedes hallar algunos ejercicios que te pueden ayudar.

Sean \(E = { x \in \mathcal{C}[a,b]: x’ \in \mathcal{C}[a,b] }\) con la norma \(\lVert x\rVert = \lVert x \rVert_\infty + \lVert x’\rVert_\infty \) par \(x\in E\) y \(c \in ]a,b[\). Pruebe si los siguientes operadores son lineales y acotados: $$\begin{array}{ll} \begin{array}{[email protected]{\,}ccl}T_1 \colon & E & \longrightarrow & E\\ & x & \longmapsto &\displaystyle x'(c)\cdot x \end{array} & \begin{array}{[email protected]{\,}ccl} T_2 \colon & E & \longrightarrow & E \\ & x & \longmapsto &\displaystyle x'(c)+x \end{array} \end{array}$$ En caso de que el operador sea acotado, halle su norma.