Puntos de acumulación y adherencia

¿Problemas con entender las definiciones de punto de acumulación y puntos de adherencia? Aquí puedes econtrar una serie de ejercicios que te ayudarán.

  • Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(M’\) es cerrado.
  • Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(\overline{M}\) es cerrado.
  • Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que $$M \text{ es cerrado}\quad\text{si y solo si}\quad M’ \subseteq M$$
  • Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que $$M \text{ es cerrado} \quad\text{si y solo si}\quad M=\overline{M}.$$
  • Sea \((E,d)\) un espacio métrico y \(M\subseteq E\). Demuestre que \(a \in \overline{M}\) si y solo si para todo \(r>0, \; B(a,r)\) contiene al menos un punto de \(M\).
  • Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq E\). Demuestre que si \(A\subseteq B\), entonces \(A’ \subseteq B’\) y, por ende, \(\overline{A} \subseteq \overline{B}\).
  • Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(F,M\subseteq M\). Demuestre que si \(F\) es cerrado y \(M \subseteq F\), entonces \(\overline{M} \subseteq F\).
  • Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}).
  • Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}\).
  • Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq M\). Demuestre que, en general, no se tiene que \(\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq \overline{A \cap B} \).