Sucesiones de Cauchy, subsucesiones y convergencia

¿Si una sucesión de Cauchy posee una subsucesión convergente, entonces la sucesión converge? Aquí puedes encontrar la respuesta a esto.

Sean \((E,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x\in E\). Demuestre que si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy y posee una subsucesión convergente a \(x\), entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(x\).