Archives octubre 2019

Caracterización puntual de continuidad

¿Cómo se caracteriza la continuidad en un punto mediante sucesiones? Este ejercicio te ayudará a entender esta relación.

Sean \((E,d_E),(F,d_F)\) dos espacios métricos, \(f\,\colon\, E \mapsto F\) y \(a\in E\), \(f\) es continua en \(a\) si y solo si para toda sucesión \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) en convergente a \(a\) en \(E\) se tiene que \((f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(f(a)\) en \(F\).

Preimágenes y funciones continuas

¿Qué ocurre con la preimagen de un conjunto cerrado mediante una función continua? En la solución de este ejercicio puedes encontrar la respuesta.

Sean \((E,d_E)\), \((F,d_F)\) dos espacios métricos y \(f\,\colon\, E \mapsto F\). Pruebe que \( f \) es continua si y solo si para todo conjunto cerrado \(B\) en \((F,d_F)\) se tiene que \(f^{-1}(B)\) es un conjunto cerrado en \((E,d_E)\).

Sucesiones y métricas equivalentes

¿Cómo se comportan la propiedades de las sucesiones mediante métricas equivalentes? Conoce la respuesta aquí.

Sean \(E \neq \emptyset \) dotado de dos métricas equivalentes \(d_1\) y \(d_2\), \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x \in E\). Demuestre que

  • \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) es de Cauchy en \((E,d_1)\) si y solo si \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) es de Cauchy en \((E,d_2)\);
  • \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) converge hacia \(x\) en \((E,d_1)\) si y solo si \((x_n){n\in\mathbb{N}}\) converge hacia \(x\) en \((E,d_2)\).

Sucesiones de Cauchy, convergentes y acotadas

¿Qué relación existe entre las sucesiones convergente, las sucesiones de Cauchy y las sucesiones acotadas? Aquí puedes encontrar algunos ejercicios que te pueden guiar en esto.

Sean \((E,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\). Pruebe que:

  • Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es convergente entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy;
  • Si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es acotada.

Sucesiones de Cauchy, subsucesiones y convergencia

¿Si una sucesión de Cauchy posee una subsucesión convergente, entonces la sucesión converge? Aquí puedes encontrar la respuesta a esto.

Sean \((E,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de \(E\) y \(x\in E\). Demuestre que si \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy y posee una subsucesión convergente a \(x\), entonces \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge a \(x\).

Espacios no separables

¿Sabías que el espacio de funciones acotadas junto a la norma del supremo no es separable? Aquí puedes encontrar su demostración.

Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\) y consideremos \( (\mathcal{B}[a,b], d_\infty) \), el espacio de las funciones reales acotadas definidas sobre \([a,b]\) con la norma del supremo. Pruebe que \((\mathcal{B}[a,b], d_\infty)\) no es separable.

Conjuntos abiertos y espacios funcionales

¿Problemas con demostrar que un conjunto es abierto en un espacio funcional? Aquí puedes encontrar un ejemplo que te ayudará.

Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\) y consideremos \((\mathcal{C}[a,b], d_\infty) \), el espacio de las funciones reales continuas definidas sobre \([a,b]\) con la norma del máximo. Sean \(f,h\in \mathcal{C}[a,b]\), definamos $$M=\{g\in\mathcal{C}[a,b]:f(x)<g(x)<h(x)\;\text{para todo }x\in[a,b]\,\};$$ pruebe que \(M\) es abierto en \( (\mathcal{C}[a,b], d_\infty)\).