¿Sabías que si una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado es continuamente derivable, entonces es de Lipschiz? Aquí puedes encontrar la demostración.
(Condición de Lipschitz) Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) tales que \(a<b\). Una aplicación \(T\,\colon\,[a,b]\mapsto [a,b]\) satisface la condición de Lipschitz en \([a,b]\), si existe una constante \(k>0\) tal que para todo \(x,y\in [a,b]\) se tiene que: $$|T(x)-T(y)|\leq k|x-y|.$$
- ¿Es \(T\) una contracción?
- Si \(T\) es continuamente derivable, pruebe que \(T\) satisface la condición de Lipschitz. ¿Se tiene la recíproca?