Ejercicio 1. Sea \(E\) un espacio normado, un hiperplano \(H=[f=\alpha]\) es cerrado en \(H\) si y solo si \(f\) es continua, es decir, \(f\in E^*\).
Demostración.
Notemos que \(\{\alpha\}\) es un conjunto cerrado en \(\mathbb{R}\) y dado que \(f\) es continua, entonces \(H=f^{-1}(\{\alpha\})\) es un cerrado en \(E\), es decir, es un hiperplano cerrado.
Supongamos que \(H\) es cerrado en \(E\). Debemos demostrar que \(f\) es continua o en su defecto probar que es acotada, es decir, existe \(c>0\) tal que
\[|f(x)|\leq c % \left\|{x}\right\| \quad \forall x\in E.\]
Como \(H\) es cerrado, entonces \(H^c\) es abierto, donde \(H^c= E\smallsetminus H\). Así, para \(x_0\in H^c\), por definición de abierto, existe \(R>0\) tal que
\[B_R(x_0) \subseteq H^c.\]
Luego, como \(f(x_0)\neq \alpha\), sin pérdida de generalidad, podemos considerar que \(f(x_0)<\alpha\).
Ahora, para probar que \(f\) es acotada, es suficiente demostrar que
\[f(x) <\alpha \quad \forall \in B_R(x_0).\]
En efecto, supongamos que \(f(x)<\alpha\) para todo \(x\in B_R(x_0)\). Notemos que podemos reescribir la bola abierta de la siguiente manera
\[B_R(x_0) = \{x_0\} + R B_1(0),\]
es decir, realizamos un desplazamiento de la misma. Así, para tomando \(x\in B_R(x_0)\), se tiene que existe \(z\in B_1(0)\) tal que
\[x = x_0 + R z.\]
De esta manera, se tiene que
\[\alpha > f(x) = f(x_0 + R z) = f(x_0) + R f(z),\]
por lo tanto
\[f(z) < \frac{\alpha – f(x_0)}{R}.\]
Ahora, recordemos que \(z\) depende de \(x\); no obstante, como \(x\) es arbitrario, entonces \(z\) también lo es y se tiene que
\[\tag{1}\label{1} f(z)< \frac{\alpha – f(x_0)}{R} \quad \forall z\in B_1(0).\]
Luego, como \(z\in B_1(0)\), entonces \(-z \in B_1(0)\), de esta manera, se tiene que
\[\tag{2}\label{2} f(-z)< \frac{\alpha – f(x_0)}{R} \quad \forall z\in B_1(0).\]
Así, por linealidad y usando (1) y (2), se sigue que
\[-\frac{\alpha – f(x_0)}{R} < f(z) < \frac{\alpha – f(x_0)}{R} \quad \forall z\in B_1(0),\]
lo que implica que
\[|f(z)|<\frac{\alpha – f(x_0)}{R} \quad \forall z\in B_1(0) \quad\Longrightarrow\quad\sup_{z\in B_1(0)}|f(z)|\leq \frac{\alpha – f(x_0)}{R}\]
De donde, por la definición de norma de un operador, se sigue que
\[% \left\|{f}\right\|_{E^*} \leq \frac{\alpha – f(x_0)}{R},\]
de donde, concluimos que \(f\) es acotada y por lo tanto continua.
Regresando a la demostración.
Por absurdo, supongamos que existe \(y\in B_R(x_0)\) tal que
\[f(y)>\alpha.\]
Recordemos que la bola está en el complemento, es decir, \(f\neq \alpha\), así por tricotomía de los números reales solo puede ser mayor o menor estricto.
Puesto que \(B_R(x_0)\) es convexa, entonces \([x_0,y]\subseteq B_R(x_0)\), es decir, la combinación convexa de \(x_0\) y \(y\) está en el conjunto.
La idea en este punto es ver si existe algún elemento de la combinación convexa que cumpla que \(f\) sea igual a \(\alpha\) en dicho punto.
Ahora, consideremos
\[\lambda = \frac{\alpha-x_0}{f(y)-f(x)}.\]
Por hipótesis, tenemos que \(f(x_0)\neq 0\), más aún, se tiene que \(f(x_0)< \alpha\) y por construcción \(f(y)>\alpha\); así, \(f(y)-f(x_0)\neq 0\). De esta manera, se tiene que \(\lambda\) está bien definido y es distinto de cero. Ahora, probemos que
\[\lambda \in ]0,1[.\]
Puesto que \(f(y)>\alpha\), entonces
\[f(y) – f(x_0) > \alpha – f(x_0) \quad\Longrightarrow\quad 1 > \frac{\alpha-f(x_0) }{ f(y) – f(x_0) } \Longleftrightarrow 1 >\lambda\]
Por otra parte, dado que \(f(x_0)<\alpha\), entonces \(\lambda>0\). En efecto, por contradicción, supongamos que \(\lambda<0\), entonces
\[\frac{\alpha-f(x_0) }{ f(y) – f(x_0) } < 0 \quad\Longrightarrow\quad\alpha – f(x_0) < 0 \quad\Longrightarrow\quad\alpha < f(x_0),\]
lo cual contradice nuestra hipótesis. Así en conclusión \(\lambda \in ]0,1[\). Así, tenemos que
\[\begin{aligned} f((1-\lambda)x_0 + \lambda y) & = (1-\lambda) f(x_0) + \lambda f(y)\\ & = \left(1-\frac{\alpha-f(x_0) }{ f(y) – f(x_0) }\right) f(x_0) + \frac{\alpha-f(x_0) }{ f(y) – f(x_0) }f(y)\\ & = \left(\frac{f(y)-f(x_0)-\alpha+f(x_0) }{f(y)-f(x_0)}\right)f(x_0)\\ & = \frac{f(y)f(x_0) – \alpha f(x_0) }{ f(y)-f(x_0)} + \frac{ \alpha f(y) – f(x_0)f(y) }{ f(y)-f(x_0) }\\ & = \alpha \frac{f(y)-f(x_0)}{f(y)-f(x_0)} = \alpha.\end{aligned}\]
De esta manera, hemos encontrado un punto \(x^* = (1-\lambda)x_0 + \lambda y\in B_R(x_0)\subseteq H^c\) tal que \(f(x^*)=\alpha\), pero esto no es posible; así se sigue que
\[f(x) < \alpha \quad \forall x \in B_R(x_0).\]
Así, usando el resultado probado anteriormente, se sigue que \(f\) es acotada.