Demostración. La demostración de este resultado es un corolario del Teorema de Hanh-Banach forma geométrica. 

Demostración. Vamos a probar que existe \(D\subseteq E\) numerable tal que

\[\overline{D} = E.\]

Así, puesto que \(E'\) es separable, existe \(\widetilde{D}\subseteq E'\) numerable tal que

\[\overline{\widetilde{D}} = E'.\]

Luego, sin pérdida de generalidad, podemos considerar \(D = \left(f_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\). Ahora, para cada \(n\in\mathbb{N}\) se tiene que

\[\lVert f_n \rVert = \sup_{x\in E \atop \lVert x \rVert \leq 1} |\langle f_n, x\rangle|= \sup_{x\in E \atop \lVert x \rVert = 1} |\langle f_n, x\rangle|.\]

De esta manera, para cada \(f_n\), por caracterización de supremo, se tiene que para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(x_{\varepsilon}\) tal que

\[\lVert f_n \rVert – \varepsilon< |\langle f_n, x_{\varepsilon} \rangle|.\]

Luego, tomando \(\varepsilon= \dfrac{1}{n}\) y el límite cuando \(n\to+\infty\), se sigue que

\[\dfrac{1}{2}\lVert f_n\rVert \leq |\langle f_n,x_{\varepsilon}\rangle| \quad \mbox{con}\quad \lVert x_{\varepsilon} \rVert= 1.\]

Así, para cada \(f_n\) existe un \(x_n\) que satisface lo anterior y, por lo tanto, existe una sucesión \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) tal que

\[\tag{1}\label{eq:01} \dfrac{1}{2}\lVert f_n \rVert \leq |\langle f_n,x_n\rangle| \quad \mbox{con}\quad \lVert x_n \rVert= 1.\]

Ahora, consideremos \((L_0,+,\cdot,\mathbb{Q})\) el espacio vectorial generado por \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\). Es decir, \(L_0\) es el espacio de todas las combinaciones lineales finitas con coeficientes en \(\mathbb{Q}\) de elementos de la sucesión \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\). Además, \(L_0\) es un contable, pues

\[L_0 = \bigcup_{n\geq 1} \Lambda_n,\]

donde \(\Lambda_n\) es el espacio vectorial sobre \(\mathbb{Q}\) definido por las combinaciones finitas de elementos de la sucesión \((x_k)_{1\leq k \leq n}\). Así, por construcción, para cada \(n\in\mathbb{N}\) \(\Lambda_n\) es contable y, por lo tanto, \(L_0\) es contable.

Análogamente, definamos \((L,+,\cdot,\mathbb{R})\) el espacio vectorial generado por \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{\mathbb{N}}}\) sobre \(\mathbb{R}\). De esta manera, por construcción se tiene que \(L_0\) es denso en \(L\), por la densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\). Más, aún se tiene que

\[L_0 \subseteq L \subseteq E.\]

Luego, sea \(f\in E'\), cualquiera tal que \(f\) se anula en \(L\). Por la desigualdad triangular se tiene que

\[\lVert f \rVert = \lVert f+f_n-f_n \rVert \leq \lVert f-f_n \rVert +\lVert f_n \rVert \quad \forall n\in\mathbb{N}.\]

Luego, por \(\eqref{eq:01}\) se tiene que

\[\lVert f_n\rVert \leq 2 |\langle f_n,x_n\rangle| = 2 |\langle f_n-f, x_n\rangle| \leq 2 \lVert f_n-f \rVert\lVert x_n\rVert \leq 2 \lVert f_n-f\rVert.\]

De esta manera, se tiene que

\[\lVert f\rVert \leq 3 \lVert f_n-f \rVert.\]

Así, como \(E'\) es denso entonces para \(\varepsilon>0\) se tiene que

\[\lVert f\rVert\leq \lVert f_n-f\rVert<\dfrac{\varepsilon}{3},\]

es decir, se concluye que \(f=0\). Luego, usando la Proposición 1 se tiene que

\[\overline{L_0} = \overline{L} = \overline{E},\]

tomando \(\widetilde{D}=L_0\) se sigue el resultado.