A continuación encontrarás una selección de algunos ejercicios útiles para profundizar en la materia de Introducción al Análisis en Espacios de Banach y Hilbert. Estos ejercicios han sido recopilados a partir de la bibliografía recomendada para el curso. Las notaciones aquí empleadas son las declaradas en la página de Notaciones del sitio.

Espacios Métricos

1. Sea \(n\geq 2\), cualquiera. Muestre que \((\mathbb{K}^n,d)\) es un espacio métrico considerando:

   • \(\displaystyle d(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^N |x_k-y_k|^2 }\),

   • \(\displaystyle d_1(x,y)=\displaystyle\sum_{k=1}^N |x_k-y_k|\),

   • \(\displaystyle d(x,y)=\sqrt[p]{\displaystyle\sum_{k=1}^N |x_k-y_k|^p },\) con \(p\in ]-1,\infty[\).

2. Sea \(n\in\mathbb{N}\), cualquiera. Pruebe que para todo \(x\in\mathbb{K}^n\),

   \[\left(\sum_{k=1}^N |x_k| \right)^2 \leq N\sum_{k=1}^N |x_k|^2\]

   Definición 1 (Diámetro de un conjunto). Sean \((X,d)\) un espacio métrico y \(A\subset X\) no vacío. Definimos el diámetro de \(A\) como

   \[\sup \lbrace d(x,y)\,|\, x,y \in A \rbrace\]

   y lo notamos por \(\delta(A)\). Además, se dice que \(\delta (A)\) está acotado si \(\delta(A)<\infty\).

3. Sean \((X,d)\) un espacio métrico y \(A,B\subseteq X\). Muestre que

   • si \(A\subset B\), entonces \(\delta(A) \leq \delta(B)\),

   • \(\delta(A) = 0\Leftrightarrow A\) tiene un solo punto.