Ejercicio 1. Considere la función \[% { \begin{array}{r@{\,}ccl} T\colon & \mathbb{R}^{2\times 2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{3}\\ & \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} & \longmapsto & \displaystyle(a+b ,\ c+d ,\ a-b ). \end{array} } \] Determine si \(T\) es una aplicación lineal.
Solución. Para determinar si esta función es una aplicación lineal, se debe verificar que cumpla con la propiedad aditiva y la propiedad de homogeneidad de las aplicaciones lineales.
Vamos a determinar si cumple la propiedad aditiva, para esto sean: \[\begin{bmatrix} \nu_1 & \nu_2\\ \nu_3 & \nu_4 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2×2}.\] Debemos comprobar si \[T\left( \begin{bmatrix} \nu_1 & \nu_2\\ \nu_3 & \nu_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix}\right) = T\left( \begin{bmatrix} \nu_1 & \nu_2\\ \nu_3 & \nu_4 \end{bmatrix} \right) + T\left( \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix} \right).\] Notamos que: \[\begin{aligned} T\left( \begin{bmatrix} \nu_1 & \nu_2\\ \nu_3 & \nu_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix}\right) & = T\left( \begin{bmatrix} \nu_1 + \beta_1 & \nu_2 + \beta_2\\ \nu_3 + \beta_3 & \nu_4 + \beta_4\end{bmatrix}\right)\\[2mm] & = (\nu_1 + \beta_1 + \nu_2 + \beta_2,\ \nu_3 + \beta_3 + \nu_4 + \beta_4,\ \nu_1 + \beta_1 – \nu_2 – \beta_2), \end{aligned}\] y que: \[\begin{aligned} T\left( \begin{bmatrix} \nu_1 & \nu_2\\ \nu_3 & \nu_4 \end{bmatrix} \right) + T \left( \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix} \right) & = (\nu_1+\nu_2, \nu_3+\nu_4,\ \nu_1-\nu_2) + (\beta_1+\beta_2, \beta_3+\beta_4,\ \beta_1-\beta_2)\\ & = (\nu_1+\nu_2+\beta_1+\beta_2,\ \nu_3+\nu_4+\beta_3+\beta_4,\ \nu_1-\nu_2+\beta_1-\beta_2). \end{aligned}\] Esto nos permite concluir que sí cumple la propiedad aditiva.
Ahora, para evaluar la homogeneidad, para \(\alpha\in \mathbb{R}\) se debe cumplir que: \[\alpha T\left( \begin{bmatrix} \nu_1 & \nu_2\\ \nu_3 & \nu_4 \end{bmatrix} \right) = T\left( \begin{bmatrix} \alpha \nu_1 & \alpha \nu_2\\ \alpha \nu_3 & \alpha \nu_4 \end{bmatrix} \right).\] Para ello vemos que: \[\begin{aligned} \alpha T\left( \begin{bmatrix} \nu_1 & \nu_2\\ \nu_3 & \nu_4 \end{bmatrix} \right) & = \alpha (\nu_1+\nu_2, \nu_3+\nu_4,\ \nu_1-\nu_2) \\ & = ( \alpha \nu_1+ \alpha \nu_2,\ \alpha \nu_3+ \alpha \nu_4,\ \alpha \nu_1-\alpha \nu_2) \end{aligned}\] y que: \[T\left( \begin{bmatrix} \alpha \nu_1 & \alpha \nu_2\\ \alpha \nu_3 & \alpha \nu_4 \end{bmatrix} \right) = ( \alpha \nu_1+ \alpha \nu_2,\ \alpha \nu_3+ \alpha \nu_4,\ \alpha \nu_1-\alpha \nu_2).\] Concluyendo que también cumple la propiedad de homogeneidad, por lo que esta función sí es una aplicación lineal.