Ejercicio 1. Considere la función \[% { \begin{array}{r@{\,}ccl} T\colon & \mathbb{R}^{2\times 2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{3}\\ & \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} & \longmapsto & \displaystyle(a+b ,\ c+d ,\ a+2 ) \end{array} } .\] Determine si \(T\) es una aplicación lineal.
Solución. Analicemos si esta función cumple las dos propiedades para ser aplicación lineal. Comenzamos con la propiedad aditiva.
Sean \[\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2×2}.\] Se debería cumplir que: \[T\left( \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix} \right) = T\left( \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix} \right) + T\left( \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix} \right).\] Para ello, vemos que: \[\begin{aligned} T\left( \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix} \right) & = T\left( \begin{bmatrix} \alpha_1 + \beta_1 & \alpha_2 + \beta_2\\ \alpha_3 + \beta_3 & \alpha_4 + \beta_4\end{bmatrix} \right)\\[2mm] & = \left(\alpha_1 + \beta_1 + \alpha_2 + \beta_2 ,\ \alpha_3 + \beta_3 + \alpha_4 + \beta_4 ,\ \alpha_1 + \beta_1 + 2\right), \end{aligned}\] por otro lado, tenemos que: \[\begin{aligned} T\left( \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix} \right) + T\left( \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\\ \beta_3 & \beta_4\end{bmatrix} \right) & = \left(\alpha_1 + \alpha_2 ,\ \alpha_3 + \alpha_4,\ \alpha_1 + 2\right) + \left(\beta_1 + \beta_2, \beta_3 + \beta_4,\ \beta_1 + 2\right)\\ & = \left(\alpha_1 + \alpha_2 + \beta_1 + \beta_2,\ \alpha_3 + \alpha_4 + \beta_3 + \beta_4,\ \alpha_1 + \beta_1 + 4\right). \end{aligned}\] Podemos observar que los resultados no son iguales (en la tercera componente \(\alpha_1 + \beta_1 + 2 \neq\alpha_1 + \beta_1 + 4\)). De esta manera, comprobamos que la propiedad de la aditividad no se cumple. Dado que deben cumplirse ambas propiedades para ser una aplicación lineal, obtenemos que la función \(T\) no es aplicación lineal.