Ejercicio. Demuestre que el siguiente límite no existe \[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3}. \]
Utilizando WolframAlpha, nos indica que este límite es 0:
Demostración. De manera simple se puede ver que los límites iterados son igual a \(0\), por lo tanto, no son de ayuda para demostrar que este límite no existe.
El siguiente paso es tomar límites a través de ciertas trayectorias que estén dentro del dominio de la función unido el punto \((0,0)\). Notemos que el dominio de la función es un subconjunto de \[\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y \neq -x^3\},\] de esta forma, una trayectoria interesante puede ser una “cercana” a la trayectoria de ecuación \(y=-x^3\) (no puede ser la trayectoria de ecuación \(y=-x^3\) pues esta no está dentro del dominio de la función unión \((0,0)\)).
Una idea para tomar una trayectoria “cercana” sería tomar una trayectoria de ecuación \(y=-x^3 + f(x)\), donde \(f\) es una función continua (para que sea una trayectoria) tal que \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (para que la trayectoria esté dentro del dominio de la función) y que \(f(0)=0\) (para que la trayectoria pase por el punto \((0,0)\)).
Dado que nuestra función es racional, puede ser una buena idea tomar, para \(f\), una función polinomial. Una función de este tipo puede ser la definida por \(f(x)=x^n\) para \(x\in\mathbb{R}\), con \(n\geq0\), es decir, consideremos la trayectoria de ecuación \(y=-x^3+x^n\), con esto \[\dfrac{8 x^2 y^3 }{x^9+y^3} =\dfrac{8 x^2 (x^n-x^3)^3 }{x^9+(x^n-x^3)^3}.\] Para obtener un límite diferente de \(0\), busquemos un valor de \(n\) tal que, tanto el numerador como el denominador (los cuales son polinomios) tengan un término independiente. Notemos que \[\begin{aligned} \dfrac{8 x^2 (x^n-x^3)^3 }{x^9+(x^n-x^3)^3} &=\dfrac{8 x^{11} (x^{n-3}-1)^3 }{x^9[ 1 + (x^{n-3}-1)^3]}\\ &=\dfrac{8 x^{2} (x^{n-3}-1)^3 }{x^{3n-9}-3 x^{2n-6} +3 x^{n-3}}\\ &=\dfrac{8 (x^{n-3}-1)^3 }{x^{n-5}[x^{2n-6}-3 x^{n-3} +3 ]};\end{aligned}\] de donde, podemos tomar \(n = 5\). Así, tomemos la trayectoria de ecuación \(y = -x^3 + x^5\), es decir, tomemos \[\funcion{\alpha}{\mathbb{R}}{\mathbb{R}^2}{t}{(t,-t^3+t^5).}\] Así, el límite, a través de \(\alpha\), en \((0,0)\) es \[\lim_{t\to 0} \dfrac{8 t^2 (t^5-t^3)^3}{t^9 + (t^5-t^3)^3} =\lim_{t\to 0} \dfrac{8 (t^2-1)^3}{t^4 – 3 t^2 + 3} =-\dfrac{8}{3}.\] Como existe un camino en el que el límite es diferente de \(0\), este límite no existe.