¿Sabías que en un espacio normado la norma es una función continua? Aquí puedes encontrar la demostración de esto.
Considere \((E,\lVert \cdot \rVert)\) un espacio normado y \((\mathbb{R},d)\) el espacio métrico de los reales con la norma usual.Pruebe que $$ \begin{array}{r@{\,}ccl} \lVert \cdot \rVert\colon & E & \longrightarrow &\mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \lVert x \rVert \end{array} $$ es una función continua.