Ejercicio. El objetivo de este ejercicio es demostrar que \[ \int_0^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\, dx=\pi. \] Se considera la siguiente gráfica:
con \(R > 1\) y tomando \(C = C_1\cup C_2\). Siga los siguientes pasos:
Calcule \[ \int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz. \]
Evalúe el límite \[ \lim_{R\to +\infty} \int_{C_2}\displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz. \]
Deduzca la fórmula que se quería demostrar.
Solución.
Dado que la función definida por \(z\mapsto\displaystyle\frac{1}{1+z^2}\) es analítica en \(C\), junto con su interior, salvo en \(i\), se tiene que \[ \int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz =\int_C \displaystyle\frac{1}{(z+i)(z-i)}\, dz =\int_C \displaystyle\frac{\frac{1}{z+i}}{z-i}\, dz =2\pi i \left(\displaystyle\frac{1}{z+i}\Big | _{z=i}^{}\right)=\pi. \]
Por la desigualdad triangular, se tiene que \begin{align*} \left|\int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz\right| &\leq\int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{|z^2+1|} |dz|\\ &\leq\int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{|z^2|-1} |dz|\\ &=\int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{R^2-1} |dz|\\ &=\displaystyle\frac{\pi R}{R^2-1}, \end{align*} luego \[ \lim_{R\to +\infty} \int_{C_2}\displaystyle\frac{1}{1+z^2} dz=0, \] pues \[ \lim_{R\to +\infty}\displaystyle\frac{\pi R}{R^2-1} =0. \]
En resumen, se tiene que \begin{align*} \pi &=\lim_{R\to+\infty}\int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz\\ &=\lim_{R\to+\infty}\left(\int_{C_1} \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz + \int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz\right)\\ &=\lim_{R\to+\infty}\left(\int_{-R}^R \displaystyle\frac{1}{1+x^2}\, dx + \int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{1+z^2}\, dz\right)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{1+x^2}\, dx + 0\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{1+x^2}\, dx, \end{align*} de donde, por paridad, \[ \int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{1+x^2}\, dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}. \]