Ejercicio. El objetivo de este ejercicio es demostrar que \[ \int_0^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}\, dx=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}. \] Se considera la siguiente gráfica
con \(R > 1\), \(z_1=\frac{1+i}{2}\) y \(z_2=\frac{-1+i}{2}\); y tomando \(C = C_1\cup C_2\). Siga los siguientes pasos:
Factorice el polinomio \(z^4+1\).
Utilice el teorema del residuo y la parte anterior para evaluar \[ \int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^4}dz. \]
Evalúe el límite \[ \lim_{R\to +\infty} \int_{C_2}\displaystyle\frac{1}{1+z^4}\, dz. \]
Deduzca la fórmula que se quería demostrar.
Solución.
Se tiene que \[ 1+z^4 =(z^2+i)(z^2-i) =\left(z-\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt2}\right)\left(z-\displaystyle\frac{-1-i}{\sqrt2}\right) \left(z-\displaystyle\frac{1-i}{\sqrt2}\right)\left(z-\displaystyle\frac{-1+i}{\sqrt2}\right). \]
Dado que la función definida por \(f(z)=\displaystyle\frac{1}{1+z^4}\) dentro de \(C\) tiene dos polos, simples, en \(z_1\) y \(z_2\), vamos a calcular sus residuos para calcular su integral. Se tiene que \[ \mathop{\mathrm{Res}}(f,z_1) =\lim_{z\to z_1}f(z)(z-z_1) =\displaystyle\frac{1}{\left(z-\displaystyle\frac{-1-i}{\sqrt2}\right) \left(z-\displaystyle\frac{1-i}{\sqrt2}\right)\left(z-\displaystyle\frac{-1+i}{\sqrt2}\right)}\Bigg | _{z=z_1}^{} =\displaystyle\frac{\sqrt 2}{4+4i}. \] y de forma similar, \[ \mathop{\mathrm{Res}}(f,z_2) =\lim_{z\to z_2}f(z)(z-z_1) =\displaystyle\frac{1}{\left(z-\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt2}\right) \left(z-\displaystyle\frac{-1-i}{\sqrt2}\right)\left(z-\displaystyle\frac{1-i}{\sqrt2}\right)}\Bigg | _{z=z_2}^{} =\displaystyle\frac{\sqrt 2}{-4+4i}. \] Por el Teorema del Residuo, se tiene que \[ \int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^2} dz =2\pi i (\mathop{\mathrm{Res}}(f,z_1)+\mathop{\mathrm{Res}}(f,z_2)) =2\pi i\left(\displaystyle\frac{\sqrt 2}{4+4i} +\displaystyle\frac{\sqrt 2}{-4+4i}\right) =\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}. \]
Por la desigualdad triangular, se tiene que \begin{align*} \left|\int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{1+z^4}\, dz\right| &\leq\int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{|z^4+1|} |dz|\\ &\leq\int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{|z^4|-1} |dz|\\ &=\int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{R^4-1} |dz|\\ &=\displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1}, \end{align*} luego \[ \lim_{R\to +\infty} \int_{C_2}\displaystyle\frac{1}{1+z^4}\, dz=0, \] pues \[ \lim_{R\to +\infty}\displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1} =0. \]
En resumen, se tiene que \begin{align*} \displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2} &=\lim_{R\to+\infty}\int_C \displaystyle\frac{1}{1+z^4}\, dz\\ &=\lim_{R\to+\infty}\left(\int_{C_1} \displaystyle\frac{1}{1+z^4}\, dz + \int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{1+z^4}\, dz\right)\\ &=\lim_{R\to+\infty}\left(\int_{-R}^R \displaystyle\frac{1}{1+x^4}\, dx + \int_{C_2} \displaystyle\frac{1}{1+z^4}\, dz\right)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{1+x^4}\, dx + 0\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{1+x^4}\, dx, \end{align*} de donde, por paridad, \[ \int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{1+x^4}\, dx=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}. \]