¿Problemas en analizar la completitud de espacios de sucesiones? Aquí puedes encontrar un ejercicio que te puede guiar. En \((\ell^\infty,d_\infty)\), sea $$M={(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\ell^\infty: (\exists n\in\mathbb{N})(\forall k > n)(x_k=0)},$$ pruebe que \((M,d_\infty)\) no es completo.
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Espacios completos
¿Problemas en demostrar que un espacio es completo? La solución de este ejercicio te puede orientar. Usando el hecho que \((\mathbb{R},|\cdot|) \) es completo, demuestre que \((\mathbb{R}^n,d_\infty)\), con \(n>1\), es completo.
Sigue leyendoBiyectividad y continuidad
¿Existen funciones biyectivas y continua cuya inversa no sea continua? Aquí puedes encotrar la respuesta. Dar un ejemplo de una función biyectiva que sea continua pero cuya inversa no lo sea.
Sigue leyendoFunciones continuas y conjuntos densos
¿Sabías que las funciones contiuas y sobreyectivas envían conjuntos densos en conjuntos densos? Aquí podrás encontrar la demostración. Sean \((E,d_1)\) y \((F,d_2)\) espacios métricos, y \(f\,\colon\, E \mapsto F\) una función continua y sobreyectiva. Demostrar que si \(A\) es denso […]
Sigue leyendoFuncionales discontinuos
¿Conoces algún ejemplo de funcionales discontinuos? ¿Cómo se pueden transformar en continuos? En la solución de este ejercicio puedes encontrar la respuesta. Dada la función $$\begin{array}{r@{\,}ccl}\phi\colon & \mathcal{C}^1[a,b] & \longrightarrow & \mathcal{C}[a,b] \\ & f & \longmapsto & \displaystyle \phi(f)=f’\end{array}$$ […]
Sigue leyendoCaracterización de continuidad mediante clausuras
¿Conocías esta caracterización de funciones continuas mediante la clausura de conjuntos? Aquí puedes encontrar su demostración. Sean \((E,\tau)\) y \((F,\sigma)\) espacios topológicos, y \(f\,\colon\, E\mapsto F\) una función. Demostrar que \(f\) es continua si y solo si para todo \(B\subseteq […]
Sigue leyendoDefiniciones de continuidad
¿Problemas con demostrar la equivalencia entre la definición métrica de continuidad y la definición topológica? Aquí puedes encontrar esta definición. Sean \((E,d_E),(F,d_F)\) dos espacios métricos y \(f\,\colon\, E\mapsto F\), \(f\) es continua en si y solo si para todo \(A\) […]
Sigue leyendoContinuidad y métrica discreta
¿Sabías que si el dominio de una función está dotado por la métrica discreta, la función es automáticamente continua? En este enlace puedes encontrar la solución a esto. Sean \((E,d_E),(F,d_F)\) dos espacios métricos y \(f\,\colon\, E\mapsto F\) una función. Si […]
Sigue leyendoCaracterización puntual de continuidad
¿Cómo se caracteriza la continuidad en un punto mediante sucesiones? Este ejercicio te ayudará a entender esta relación. Sean \((E,d_E),(F,d_F)\) dos espacios métricos, \(f\,\colon\, E \mapsto F\) y \(a\in E\), \(f\) es continua en \(a\) si y solo si para […]
Sigue leyendoPreimágenes y funciones continuas
¿Qué ocurre con la preimagen de un conjunto cerrado mediante una función continua? En la solución de este ejercicio puedes encontrar la respuesta. Sean \((E,d_E)\), \((F,d_F)\) dos espacios métricos y \(f\,\colon\, E \mapsto F\). Pruebe que \( f \) es […]
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